数学的起源与发展1

作者:谢桂旺 来源: 发布时间:2015年12月21日
 

数学的起源和发展

 

数学是中国古代科学中一门重要的学科,根据中国古代数学发展的特点,可以分为五个时期:萌芽;体系的形成;发展;繁荣和中西方数学的融合

 

中国古代数学的萌芽

 1、原始公社末期,私有制和货物交换产生以后,数与形的概念有了进一步的发展,仰韶文化时期出土的陶器,上面已刻有表示1234的符号。到原始公社末期,已开始用文字符号取代结绳记事了。

    2、西安半坡出土的陶器有用18个圆点组成的等边三角形和分正方形为100个小正方形的图案,半坡遗址的房屋基址都是圆形和方形。为了画圆作方,确定平直,人们还创造了规、矩、准、绳等作图与测量工具。据《史记·夏本纪》记载,夏禹治水时已使用了这些工具。商代中期,在甲骨文中已产生一套十进制数字和记数法,其中最大的数字为三万;与此同时,殷人用十个天干和十二个地支组成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60个名称来记60天的日期;在周代,又把以前用阴、阳符号构成的八卦表示八种事物发展为六十四卦,表示64种事物。

     3、公元前一世纪的《周髀算经》提到西周初期用矩测量高、深、广、远的方法,并举出勾股形的勾三、股四、弦五以及环矩可以为圆等例子。《礼记·内则》篇提到西周贵族子弟从九岁开始便要学习数目和记数方法,他们要受礼、乐、射、驭、书、数的训练,作为六艺之一的数已经开始成为专门的课程。春秋战国之际,筹算已得到普遍的应用,筹算记数法已使用十进位值制,这种记数法对世界数学的发展是有划时代意义的。这个时期的测量数学在生产上有了广泛应用,在数学上亦有相应的提高。

4、战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展,尤其是对于正名和一些命题的争论直接与数学有关。名家认为经过抽象以后的名词概念与它们原来的实体不同,他们提出矩不方,规不可以为圆,把大一(无穷大)定义为至大无外小一(无穷小)定义为至小无内。还提出了一尺之棰,日取其半,万世不竭等命题。而墨家则认为名来源于物,名可以从不同方面和不同深度反映物。墨家给出一些数学定义。例如圆、方、平、直、次(相切)、端(点)等等。

5、墨家不同意一尺之棰的命题,提出一个非半的命题来进行反驳:将一线段按一半一半地无限分割下去,就必将出现一个不能再分割的非半,这个非半就是点。

     6、名家的命题论述了有限长度可分割成一个无穷序列,墨家的命题则指出了这种无限分割的变化和结果。名家和墨家的数学定义和数学命题的讨论,对中国古代数学理论的发展是很有意义的。

中国古代数学体系的形成

1 、秦汉是封建社会的上升时期,经济和文化均得到迅速发展。中国古代数学体系正是形成于这个时期,它的主要标志是算术已成为一个专门的学科,以及以《九章算术》为代表的数学著作的出现。

    2 《九章算术》是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总结,就其数学成就来说,堪称是世界数学名著。例如分数四则运算、今有术(西方称三率法)、开平方与开立方(包括二次方程数值解法)、盈不足术(西方称双设法)、各种面积和体积公式、线性方程组解法、正负数运算的加减法则、勾股形解法(特别是勾股定理和求勾股数的方法)等,水平都是很高的。其中方程组解法和正负数加减法则在世界数学发展上是遥遥领先的。就其特点来说,它形成了一个以筹算为中心、与古希腊数学完全不同的独立体系。

     3 《九章算术》有几个显著的特点:采用按类分章的数学问题集的形式;算式都是从筹算记数法发展起来的;以算术、代数为主,很少涉及图形性质;重视应用,缺乏理论阐述等。

     4 、这些特点是同当时社会条件与学术思想密切相关的。秦汉时期,一切科学技术都要为当时确立和巩固封建制度,以及发展社会生产服务,强调数学的应用性。最后成书于东汉初年的《九章算术》,排除了战国时期在百家争鸣中出现的名家和墨家重视名词定义与逻辑的讨论,偏重于与当时生产、生活密切相结合的数学问题及其解法,这与当时社会的发展情况是完全一致的。

5 《九章算术》在隋唐时期曾传到朝鲜、日本,并成为这些国家当时的数学教科书。它的一些成就如十进位值制、今有术、盈不足术等还传到印度和阿拉伯,并通过印度、阿拉伯传到欧洲,促进了世界数学的发展。

中国古代数学的发展

1 、魏、晋时期出现的玄学,不为汉儒经学束缚,思想比较活跃;它诘辩求胜,又能运用逻辑思维,分析义理,这些都有利于数学从理论上加以提高。吴国赵爽注《周髀算经》,汉末魏初徐岳撰《九章算术》注,魏末晋初刘徽撰《九章算术》注、《九章重差图》都是出现在这个时期。赵爽与刘徽的工作为中国古代数学体系奠定了理论基础。

   2 、赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明与推导的最早的数学家之一。他在《周髀算经》书中补充的勾股圆方图及注日高图及注是十分重要的数学文献。在勾股圆方图及注中他提出用弦图证明勾股定理和解勾股形的五个公式;在日高图及注中,他用图形面积证明汉代普遍应用的重差公式,赵爽的工作是带有开创性的,在中国古代数学发展中占有重要地位。

   3 、刘徽约与赵爽同时,他继承和发展了战国时期名家和墨家的思想,主张对一些数学名词特别是重要的数学概念给以严格的定义,认为对数学知识必须进行析理,才能使数学著作简明严密,利于读者。他的《九章算术》注不仅是对《九章算术》的方法、公式和定理进行一般的解释和推导,而且在论述的过程中有很大的发展。刘徽创造割圆术,利用极限的思想证明圆的面积公式,并首次用理论的方法算得圆周率为 157/50 3927/1250

4 、刘徽用无穷分割的方法证明了直角方锥与直角四面体的体积比恒为21,解决了一般立体体积的关键问题。在证明方锥、圆柱、圆锥、圆台的体积时,刘徽为彻底解决球的体积提出了正确途径。

     5 、东晋以后,中国长期处于战争和南北分裂的状态。祖冲之父子的工作就是经济文化南移以后,南方数学发展的具有代表性的工作,他们在刘徽注《九章算术》的基础上,把传统数学大大向前推进了一步。他们的数学工作主要有:计算出圆周率

3141592631415927之间;提出祖(日恒)原理;提出二次与三次方程的解法等。

     6 、据推测,祖冲之在刘徽割圆术的基础上,算出圆内接正6144边形和正12288边形的面积,从而得到了这个结果。他又用新的方法得到圆周率两个分数值,即约率22/7和密率355/113。祖冲之这一工作,使中国在圆周率计算方面,比西方领先约一千年之久;

   7 、祖冲之之子祖(日恒)总结了刘徽的有关工作,提出幂势既同则积不容异,即等高的两立体,若其任意高处的水平截面积相等,则这两立体体积相等,这就是著名的祖(日恒)公理。祖(日恒)应用这个公理,解决了刘徽尚未解决的球体积公式。

     8 、隋炀帝好大喜功,大兴土木,客观上促进了数学的发展。唐初王孝通的《缉古算经》,主要讨论土木工程中计算土方、工程分工、验收以及仓库和地窖的计算问题,反映了这个时期数学的情况。王孝通在不用数学符号的情况下,立出数字三次方程,不仅解决了当时社会的需要,也为后来天元术的建立打下基础。此外,对传统的勾股形解法,王孝通也是用数字三次方程解决的。

     9 、唐初封建统治者继承隋制,656年在国子监设立算学馆,设有算学博士和助教,学生30人。由太史令李淳风等编纂注释《算经十书》,作为算学馆学生用的课本,明算科考试亦以这些算书为准。李淳风等编纂的《算经十书》,对保存数学经典著作、为数学研究提供文献资料方面是很有意义的。他们给《周髀算经》、《九章算术》以及《海岛算经》所作的注解,对读者是有帮助的。隋唐时期,由于历法的需要,天算学家创立了二次函数的内插法,丰富了中国古代数学的内容。算筹是中国古代的主要计算工具,它具有简单、形象、具体等优点,但也存在布筹占用面积大,运筹速度加快时容易摆弄不正而造成错误等缺点,因此很早就开始进行改革。其中太乙算、两仪算、三才算和珠算都是用珠的槽算盘,在技术上是重要的改革。尤其是珠算,它继承了筹算五升十进与位值制的优点,又克服了筹算纵横记数与置筹不便的缺点,优越性十分明显。但由于当时乘除算法仍然不能在一个横列中进行。算珠还没有穿档,携带不方便,因此仍没有普遍应用。

    10 、唐中期以后,商业繁荣,数字计算增多,迫切要求改革计算方法,从《新唐书》等文献留下来的算书书目,可以看出这次算法改革主要是简化乘、除算法,唐代的算法改革使乘除法可以在一个横列中进行运算,它既适用于筹算,也适用于珠算。

中国古代数学的繁荣

   1 960年,北宋王朝的建立结束了五代十国割据的局面。北宋的农业、手工业、商业空前繁荣,科学技术突飞猛进,火药、指南针、印刷术三大发明就是在这种经济高涨的情况下得到广泛应用。1084年秘书省第一次印刷出版了《算经十书》,1213年鲍擀之又进行翻刻。这些都为数学发展创造了良好的条件。

   2 、从1114世纪约300年期间,出现了一批著名的数学家和数学著作,如贾宪的《黄帝九章算法细草》,刘益的《议古根源》,秦九韶的《数书九章》,李冶的《测圆海镜》和《益古演段》,杨辉的《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》,朱世杰的《算学启蒙》《四元玉鉴》等,很多领域都达到古代数学的高峰,其中一些成就也是当时世界数学的高峰。从开平方、开立方到四次以上的开方,在认识上是一个飞跃,实现这个飞跃的就是贾宪。杨辉在《九章算法纂类》中载有贾宪增乘开平方法增乘开立方法;在《详解九章算法》中载有贾宪的开方作法本源图、增乘方法求廉草和用增乘开方法开四次方的例子。根据这些记录可以确定贾宪已发现二项系数表,创造了增乘开方法。这两项成就对整个宋元数学发生重大的影响,其中贾宪三角比西方的帕斯卡三角形早提出600多年。

3、把增乘开方法推广到数字高次方程(包括系数为负的情形)解法的是刘益。《杨辉算法》中田亩比类乘除捷法卷,介绍了原书中22个二次方程和 1个四次方程,后者是用增乘开方法解三次以上的高次方程的最早例子。

   4、秦九韶是高次方程解法的集大成者,他在《数书九章》中收集了21个用增乘开方法解高次方程(最高次数为10)的问题。为了适应增乘开方法的计算程序,奏九韶把常数项规定为负数,把高次方程解法分成各种类型。当方程的根为非整数时,秦九韶采取继续求根的小数,或用减根变换方程各次幂的系数之和为分母,常数为分子来表示根的非整数部分,这是《九章算术》和刘徽注处理无理数方法的发展。在求根的第二位数时,秦九韶还提出以一次项系数除常数项为根的第二位数的试除法,这比西方最早的霍纳方法早500多年。

   5、元代天文学家王恂、郭守敬等在《授时历》中解决了三次函数的内插值问题。秦九韶在缀术推星题、朱世杰在《四元玉鉴》如象招数题都提到内插法(他们称为招差术),朱世杰得到一个四次函数的内插公式。用天元(相当于x)作为未知数符号,立出高次方程,古代称为天元术,这是中国数学史上首次引入符号,并用符号运算来解决建立高次方程的问题。现存最早的天元术著作是李冶的《测圆海镜》。

   6、从天元术推广到二元、三元和四元的高次联立方程组,是宋元数学家的又一项杰出的创造。留传至今,并对这一杰出创造进行系统论述的是朱世杰的《四元玉鉴》。

 7、朱世杰的四元高次联立方程组表示法是在天元术的基础上发展起来的,他把常数放在中央,四元的各次幂放在上、下、左、右四个方向上,其他各项放在四个象限中。朱世杰的最大贡献是提出四元消元法,其方法是先择一元为未知数,其他元组成的多项式作为这未知数的系数,列成若干个一元高次方程式,然后应用互乘相消法逐步消去这一未知数。重复这一步骤便可消去其他未知数,最后用增乘开方法求解。这是线性方法组解法的重大发展,比西方同类方法早400多年。

  8、勾股形解法在宋元时期有新的发展,朱世杰在《算学启蒙》卷下提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法,补充了《九章算术》的不足。李冶在《测圆海镜》对勾股容圆问题进行了详细的研究,得到九个容圆公式,大大丰富了中国古代几何学的内容。

9 已知黄道与赤道的夹角和太阳从冬至点向春分点运行的黄经余弧,求赤经余弧和赤纬度数,是一个解球面直角三角形的问题,传统历法都是用内插法进行计算。元代王恂、郭守敬等则用传统的勾股形解法、沈括用会圆术和天元术解决了这个问题。不过他们得到的是一个近似公式,结果不够精确。但他们的整个推算步骤是正确无误的,从数学意义上讲,这个方法开辟了通往球面三角法的途径。中国古代计算技术改革的高潮也是出现在宋元时期。宋元明的历史文献中载有大量这个时期的实用算术书目,其数量远比唐代为多,改革的主要内容仍是乘除法。与算法改革的同时,穿珠算盘在北宋可能已出现。但如果把现代珠算看成是既有穿珠算盘,又有一套完善的算法和口诀,那么应该说它最后完成于元代。宋元数学的繁荣,是社会经济发展和科学技术发展的必然结果,是传统数学发展的必然结果。此外,数学家们的科学思想与数学思想也是十分重要的。宋元数学家都在不同程度上反对理学家的象数神秘主义。秦九韶虽曾主张数学与道学同出一源,但他后来认识到,通神明的数学是不存在的,只有经世务类万物的数学;莫若在《四元玉鉴》序文中提出的用假象真,以虚问实则代表了高度抽象思维的思想方法;杨辉对纵横图结构进行研究,揭示出洛书的本质,有力地批判了象数神秘主义。所有这些,无疑是促进数学发展的重要因素。

中西方数学的融合

 1、中国从明代开始进入了封建社会的晚期,封建统治者实行极权统治,宣传唯心主义哲学,施行八股考试制度。在这种情况下,除珠算外,数学发展逐渐衰落。

  216世纪末以后,西方初等数学陆续传入中国,使中国数学研究出现一个中西融合贯通的局面;鸦片战争以后,近代数学开始传入中国,中国数学便转入一个以学习西方数学为主的时期;到19世纪末20世纪初,近代数学研究才真正开始。

  3、从明初到明中叶,商品经济有所发展,和这种商业发展相适应的是珠算的普及。明初《魁本对相四言杂字》和《鲁班木经》的出现,说明珠算已十分流行。前者是儿童看图识字的课本,后者把算盘作为家庭必需用品列入一般的木器家具手册中。随着珠算的普及,珠算算法和口诀也逐渐趋于完善。例如王文素和程大位增加并改善撞归、起一口诀;徐心鲁和程大位增添加、减口诀并在除法中广泛应用归除,从而实现了珠算四则运算的全部口诀化;朱载墒和程大位把筹算开平方和开立方的方法应用到珠算,程大位用珠算解数字二次、三次方程等等。程大位的著作在国内外流传很广,影响很大。

41582年,意大利传教士利玛窦到中国,1607年以后,他先后与徐光启翻译了《几何原本》前六卷、《测量法义》一卷,与李之藻编译《圜容较义》和《同文算指》。1629年,徐光启被礼部任命督修历法,在他主持下,编译《崇祯历书》137卷。《崇祯历书》主要是介绍欧洲天文学家第谷的地心学说。作为这一学说的数学基础,希腊的几何学,欧洲玉山若干的三角学,以及纳皮尔算筹、伽利略比例规等计算工具也同时介绍进来。

   5、在传入的数学中,影响最大的是《几何原本》。《几何原本》是中国第一部数学翻译著作,绝大部分数学名词都是首创,其中许多至今仍在沿用。徐光启认为对它不必疑不必改举世无一人不当学。《几何原本》是明清两代数学家必读的数学书,对他们的研究工作颇有影响。

    6、其次应用最广的是三角学,介绍西方三角学的著作有《大测》《割圆八线表》和《测量全义》。《大测》主要说明三角八线(正弦、余弦、正切、余切、正割、余割、正矢、余矢)的性质,造表方法和用表方法。《测量全义》除增加一些《大测》所缺的平面三角外,比较重要的是积化和差公式和球面三角。所有这些,在当时历法工作中都是随译随用的。

71646年,波兰传教士穆尼阁来华,跟随他学习西方科学的有薛凤柞、方中通等。穆尼阁去世后,薛凤柞据其所学,编成《历学会通》,想把中法西法融会贯通起来。《历学会通》中的数学内容主要有比例对数表》《比例四线新表》和《三角算法》。前两书是介绍英国数学家纳皮尔和布里格斯发明增修的对数。后一书除《崇祯历书》介绍的球面三角外,尚有半角公式、半弧公式、德氏比例式、纳氏比例式等。方中通所著《数度衍》对对数理论进行解释。对数的传入是十分重要,它在历法计算中立即就得到应用。

  8、清初学者研究中西数学有心得而著书传世的很多,影响较大的有王锡阐《图解》、梅文鼎《梅氏丛书辑要》(其中数学著作13种共40卷)、年希尧《视学》等。梅文鼎是集中西数学之大成者。他对传统数学中的线性方程组解法、勾股形解法和高次幂求正根方法等方面进行整理和研究,使濒于枯萎的明代数学出现了生机。年希尧的《视学》是中国第一部介绍西方透视学的著作。

  9、清康熙皇帝十分重视西方科学,他除了亲自学习天文数学外,还培养了一些人才和翻译了一些著作。1712年康熙皇帝命梅彀成任蒙养斋汇编官,会同陈厚耀、何国宗、明安图、杨道声等编纂天文算法书。1721年完成《律历渊源》100卷,以康熙御定的名义于1723年出版。其中《数理精蕴》主要由梅彀成负责,分上下两编,上编包括《几何原本》、《算法原本》,均译自法文著作;下编包括算术、代数、平面几何平面三角、立体几何等初等数学,附有素数表、对数表和三角函数表。 

10、由于它是一部比较全面的初等数学百科全书,并有康熙御定的名义,因此对当时数学研究有一定影响。综上述可以看到,清代数学家对西方数学做了大量的会通工作,并取得许多独创性的成果。这些成果,如和传统数学比较,是有进步的,但和同时代的西方比较则明显落后了。

   11 雍正即位以后,对外闭关自守,导致西方科学停止输入中国,对内实行高压政策,致使一般学者既不能接触西方数学,又不敢过问经世致用之学,因而埋头于究治古籍。乾嘉年间逐渐形成一个以考据学为主的乾嘉学派。随着《算经十书》与宋元数学著作的收集与注释,出现了一个研究传统数学的高潮。其中能突破旧有框框并有发明创造的有焦循、汪莱、李锐、李善兰等。他们的工作,和宋元时代的代数学比较是青出于蓝而胜于蓝的;和西方代数学比较,在时间上晚了一些,但这些成果是在没有受到西方近代数学的影响下独立得到的。

  12、与传统数学研究出现高潮的同时,阮元与李锐等编写了一部天文数学家传记《畴人传》,收集了从黄帝时期到嘉庆四年已故的天文学家和数学家270余人(其中有数学著作传世的不足50人),和明末以来介绍西方天文数学的传教士41人。这部著作全由掇拾史书,荃萃群籍,甄而录之而成,收集的完全是第一手的原始资料,在学术界颇有影响。

131840年鸦片战争以后,西方近代数学开始传入中国。首先是英人在上海设立墨海书馆,介绍西方数学。第二次鸦片战争后,曾国藩、李鸿章等官僚集团开展洋务运动,也主张介绍和学习西方数学,组织翻译了一批近代数学著作。

  14、其中较重要的有李善兰与伟烈亚力翻译的《代数学》《代微积拾级》;华蘅芳与英人傅兰雅合译的《代数术》《微积溯源》《决疑数学》;邹立文与狄考文编译的《形学备旨》《代数备旨》《笔算数学》;谢洪赉与潘慎文合译的《代形合参》《八线备旨》等等。

    15、《代微积拾级》是中国第一部微积分学译本;《代数学》是英国数学家德·摩根所著的符号代数学译本;《决疑数学》是第一部概率论译本。在这些译著中,创造了许多数学名词和术语,至今还在应用,但所用数学符号一般已被淘汰了。戊戌变法以后,各地兴办新法学校,上述一些著作便成为主要教科书。

  16、在翻译西方数学著作的同时,中国学者也进行一些研究,写出一些著作,较重要的有李善兰的《《尖锥变法解》《考数根法》;夏弯翔的《洞方术图解》《致曲术》《致曲图解》等等,都是会通中西学术思想的研究成果。

17、由于输入的近代数学需要一个消化吸收的过程,加上清末统治者十分腐败,在太平天国运动的冲击下,在帝国主义列强的掠夺下,焦头烂额,无暇顾及数学研究。直到1919年五四运动以后,中国近代数学的研究才真正开始。

 

数学是研究现实世界空间形式和数量关系的一门科学。它包括算术、代数、几何、三角、解析几何、微积分等等。

数学科学伴随着人类社会的发展,也有它自身发展的历程。前苏联科学院院士A·H·柯尔莫戈洛夫曾把数学发展史划分为四个阶段:第一个阶段的前期产生自然数概念、计算方法和简单的几何图形,后期出现数的写法、数的算术运算、某些几何图形的运用,解答简单的代数题目;第二个阶段逐渐形成了初等数学的分支,即算术、代数、几何、三角;第三个阶段建立了解析几何、微积分、概率论等学科;第四个阶段出现计算机学科,以及应用数学的众多分支、纯数学的若干问题的重大突破等

我国数学在世界数学发展史上,有它卓越的贡献。早在远古时代,人们就用绳结表示事物的多少,在彩陶中绘有大量的直线、三角、圆、方、菱形、五边形、六边形等对称图案,在房屋遗址的基地上,亦发现几何图形,表明远古的人们在一定程度上已经具有数和形的概念。

在新石器时期的彩陶钵上,有多种刻画符号,其中丨、、、×、+等,很可能是我国最早的记数符号。产生文字之后,在殷商的甲骨文中出现了记数的专用文字和十进制记数法,并且运用规和矩作为简单的绘图和测量工具。《前汉书·律历志》记载了用竹棍表示数和计算的方法,称为算筹和筹算。在春秋早期乘法口诀被称为九九歌,已经成为很普通的知识。

春秋战国时期,学术繁荣,产生了相当精彩和可贵的数学思想;公元前6世纪,已经有了关于简单体积和比例分配问题的算法,在《考工记》中记载了分数和角度的资料;到秦始皇时,统一了度量衡,并且基本上采用了十进制的度量单位,在《墨经》中提出了几何名词的定义和几何命题等。《杜忠算术》和《许商算术》是最早的数学专著,但这两部书都失传了。至今仍保留的古代数学专著是《算数书》,全书共有60多个小标题、90多个题目,书中内容涉及了整数和分数的四则运算、比例问题、面积和体积问题等、并且含有合分少广等数学思想。

大约公元前1世纪完成了《周髀算经》(书中大部分内容于公元前76世纪完成),书中记述了矩的用途、勾股定理及其在测量上的应用,相似直角三角形对应边成比例的定理、开平方问题、等差级数问题,应用古四分历计算相当复杂的分数运算等,此书为重要的宝贵文献。

我国古代数学专著有《勾股圆方图注》、《九章算术注》、《孙子算经》、《五经算术》、《缀术》等。特别应该指出的是,刘徽在《九章算术注》中对《九章算术》的大部分数学方法作了严密的论证,对于一些数学概念提出了明确的解释,为中国数学发展奠定了坚实的理论基础。祖冲之在《缀术》中得出了比刘徽所提出的值更精密的圆周率,成为举世公认的重大成就。贾宪在《黄帝九章算法细草》中提出的开方作法本源图和增乘开方法,以及《孙子算经》中的孙子问题,《张邱建算经》中的百鸡问题、珠算盘和珠算术等等,均在世界数学发展史上有深远影响。

 

 

 

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数学发展史大致可以分为四个基本上本质不同的阶段.

第一个时期: 数学形成时期,这是人类建立最基本的数学概念的时期.人类从数数开始逐渐建立了自然数的概念,简单的计算法,并认识了最简单的几何形式,算术与几何还没有分开.

第二个时期称为初等数学,即常量数学时期,这个时期的基本的、最简单的成果构成现在中学数学的主要内容.这个时期从公元前5世纪开始,也许更早一些,直到17世纪,大约持续了两千年.这个时期逐渐形成了初等数学的主要分支:算术、几何、代数、三角.

第三个时期是变量数学时期

第四个时期是现代数学

一、数学文明的发祥

数学文明的发祥可以追溯到4千年前,甚至更久,

世界公认的四大文明古国:中国、埃及、巴比伦、印

度,其文明程度的主要标志之一就是数学的萌芽.

埃及几何的故乡

已掌握了加、减、乘、除四种运算.会算一些平面图形的面积及一些立体的体积.

埃及的金字塔,建于公元前三千年至公元前一千多年,这些古建筑留下了许多数学之谜:

塔底每边长230米,误差小于20厘米.塔高146.5米,东南与西北角误差仅1.27厘米,直角误差仅有12″,方位角误差在2′到5′之间.这样的精确度,现代建筑也望尘莫及.

用石达230万块之多,重量从2.5吨到50吨不等,石块间接缝处连铅笔刀也难插入.

        塔高的10亿倍恰好等于地球到太阳的距离;底边与高度之比的2倍近似等于3.14159,而这是公元3世纪时的人才得到的圆周率的近似值.

        穿过塔的子午线恰好把地球上的陆地和海洋分为均匀的两半,塔的重心正好位于各大陆引力的中心线上.

       古埃及人靠什么计算方法和计算工具达到如此的精确度呢?科学研究表明,他们已具有丰富的天文学和数学知识.

巴比伦代数的源头

会开平方、开立方,并有平方、平方根、立方和立方根表.

知道二次方程的求根公式.

印度阿拉伯数字的诞生地

印度数学的发展晚于埃及、巴比伦、希腊和中国.印度人的

特殊贡献有:

阿拉伯数字是印度人的发现,他们大约在公元前4世纪就开始

使用这种数字,直到公元8世纪才传入阿拉伯国家,后经阿拉

伯人传入欧洲.

用符号“0”表示零是印度人的一大发明.

二、现代文明的发祥地希腊

世界上曾经存在21种文明,但只有希腊文化转变成了今天的工业文明,究其原因,乃是数学在希腊文明中提供了工业文明的要素.

古希腊的世界并不限于今天称作希腊的那部分,而是东部扩展到爱奥尼亚(土耳其的西部),西部扩展到意大利南部和西西里,南部扩展到亚历山大(埃及)

希腊人从埃及和巴比伦人那里学习了代数和几何的原理,但是埃及和巴比伦人的数学基本上是经验的总结,是零散的,希腊人将这些零散的知识组成一个有序的系统的整体.他们努力使数学更加深刻、更加抽象、更加理性化.柏拉图说:无论我们希腊人接受什么东西,我们都要将其改善,并使之完美无缺.

    到公元前3世纪,在最伟大的古代几何学家欧几里得、阿基米德、阿波罗尼奥斯的时代达到了顶峰,而终止于公元6世纪.当时最光辉的著作是欧几里得的《几何原本》,尽管这部书是两千多年以前写成的,但是它的一般内容和叙述的特征,却与现在我们通用的几何教科书非常相近.

欧几里得(Euclid,约公元前300年)是古代最杰出的数学家之一,欧几里得的《几何原本》的出现是数学史上的一个伟大的里程碑.自1482年第一个印刷本出版以后,至今已有一千多种版本.在我国,明朝时期意大利传教士利玛窦与我国的徐光启合译前6卷,于1607年出版.这部著作一直流传到今天,其影响远远超出了数学以外,对整个人类文明都带来巨大影响.欧几里得的几百条证明是仅仅靠几条公理推导出来的.这些演绎结果使得希腊人和以后的文明了解到理性的力量,受这一成就的鼓舞,人们把理性运用于其他领域.逻辑学家、哲学家、政治家和所有真理的追求者都纷纷仿效欧几里得的模式,来建立他们自己的理论.

    欧几里得可能不是第一流的数学家,但是第一流的教师,他写的教科书持续使用了两千多年,当今每一个有文化的人无不受到他的深刻影响.

阿基米德大约于公元前287年出生在西西里岛的叙拉古,阿基米德的著作极为丰富,是希腊数学的顶峰,他对数学做出的最引人注目的贡献是,积分方法的早期发展.

公元前212年罗马人攻陷叙拉古时阿基米德被害.城被攻破时,他正在潜心研究画在沙盘上的一个图形,一个刚攻进城的罗马士兵向他跑来,身影落在沙盘里的图形上,他挥手让士兵离开,以免弄乱了他的图形,结果那士兵就用长矛把他刺死了.这位科学巨人阿基米德的死象征一个时代的结束.怀特海对此评论道:阿基米德死于罗马士兵之手是世界巨变的象征.务实的罗马人取代了爱好理论的希腊人,领导了欧洲……,罗马人是一个伟大的民族,但是受到这样的批评:讲求实效,而无建树.他们没有改进祖先的知识,他们的进步只限于工程上的技术细节.他们没有梦想,得不出新观点,因而不能对自然的力量得到新的控制.

此后是千余年的停滞.

随着希腊科学的终结,在欧洲出现了科学萧条,数学发展的中心移到了印度、中亚细亚和阿拉伯国家.在这些地方从5世纪到15世纪的一千年中间,数学主要由于计算的需要而得到发展.印度人发明了现代记数法(后来传到阿拉伯,从发掘出来的材料来看,中国是使用十进制最早的国家),引进了负数.

到了16世纪,欧洲文艺复兴时代,欧洲人向阿拉伯学习,并根据阿拉伯文的翻译熟识了希腊科学,从阿拉伯沿袭过来的印度记数法逐渐在欧洲确定下来,欧洲科学终于越过了先人的成就.

三、变量数学时期

变量数学产生于17世纪,大体上经历了两个决定性的重大步骤:第一步是解析几何的产生;第二步是微积分的创立。

    16世纪,封建制度开始消亡,资本主义开始发展并兴盛起来,在这一时期中,家庭手工业、手工业作坊逐渐地转化为以使用机器为主的大工业.实践的需要和各门科学本身的发展使自然科学转向对运动的研究,因此对数学提出了新的要求. 对各种变化过程和各种变化着的量之间的依赖关系的研究,在数学中产生了变量和函数的概念,数学对象的这种根本扩展决定了数学向新的阶段,即向变量数学时期的过渡.

     数学中专门研究函数的领域叫做数学分析(它的主要内容是微积分),所以,从17世纪开始的数学的新时期变量数学时期可以定义为数学分析出现与发展的时期.

变量数学建立的第一个决定性步骤出现在1637年笛卡儿的著作《几何学》,这本书奠定了解析几何的基础,从而变量进入了,运动进入了数学.恩格斯指出:数学中的转折点是笛卡儿的变数,有了变数,运动进入了数学,有了变数,辩证法进入了数学

笛卡儿(René·Descartes)(1596-1650)
法国科学家、哲学家数学家,1596313日,生于法国西部的希列塔尼半岛上的图朗城,3天后,母亲去世,从小便失去母亲的笛卡儿一直体弱多病。164910月,勒内.笛卡儿应瑞典女王克里斯蒂娜的邀请来 到瑞典首都斯德哥尔摩,为这位19岁的姑娘讲授哲学和数学,很遗憾由于笛卡儿对女王的生活习惯不适应,加上严寒冬天的威胁,这位伟大的数学家、物理学家和哲学家病倒了。1650211日,这位科学巨人与世长辞了。 

变量数学发展的第二个决定性步骤是牛顿和莱布尼茨在17世纪后半叶建立了微积分.微积分的诞生具有划时代的意义,是数学史上的分水岭和转折点,对此恩格斯是这样评价的:在一切理论成就中,未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了,如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹和唯一的功绩,那正是在这里.

四、现代数学

数学发展第一时期与第二时期的主要成果,即初等数学中的主要内容已经成为中小学教育的内容.第三个时期的基本结果,如解析几何(部分已放入中学)、微积分(部分已放入中学) 、微分方程、高等代数、概率论(部分已放入中学)等已成为高等学校理工科教育的主要内容.

    现代数学时期,大致从19世纪上半叶开始.数学发展的现代阶段的开端,以其所有的基础代数、几何、分析中的深刻变化为特征.

几何学的进一步发展:

欧氏几何到非欧几何,现实空间到抽象空间

19世纪上半叶,罗巴切夫斯基建立了非欧几何学,1854年著名的德国数学家黎曼继罗巴切夫斯基之后在这个方向上完成了最重要的步骤,在这些研究的基础上,产生了各种新的空间和它们的几何:罗巴切夫斯基空间、射影空间、黎曼空间、拓扑空间等等,并找到自己的应用.

直到19世纪上半叶以前,几何的真正发展没有走上正路,一直想在欧氏几何完全正确的地方进行修正,这就是关于欧氏几何第五公设的研究.《几何原本》共有五条公设:

给定两点,可连接一线段.

线段可无限延长.

给定一点为中心和通过另一点可以作一圆.

所有直角彼此相等.

同平面内一条直线和另外两条直线相交,若在直线同侧的两个内角之和小于180°,则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交.

第五公设又称为平行公设,与下述命题等价:

过直线外一点,有且仅有一条直线与已知直线平行.

长期以来,数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来,显得文字叙述冗长,而且也不那么显而易见.
    有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到,而且以后再也没有使用。也就是说,在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。
    因此,一些数学家提出,第五公设能不能不作为公设,而作为定理?能不能依靠前四个公设来证明第五公设?这就是几何发展史上最著名的,争论了长达两千多年的关于平行公理的讨论。

由于证明第五公设的问题始终得不到解决,人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对?第五公设到底能不能证明?  

到了十九世纪二十年代,俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中,他走了另一条路子。

 欧氏几何的第五公设为:

    过直线外一点,有且仅有一条直线与已知直线平行.

否定它,得到新的公设:

过直线外一点,至少可以作两条直线和已知直线平行;

过直线外一点,不能作直线和已知直线平行.

罗巴切夫斯基用过直线外一点,至少可以作两条直线和已知直线平行来代替第五公设,然后与欧氏几何的前四个公设结合成一个公理系统,展开一系列的推理。他认为如果以这个系统为基础的推理中出现矛盾,就等于证明了第五公设.

    但是,在他极为细致深入的推理过程中,得出了一个又一个在直觉上匪夷所思,但在逻辑上毫无矛盾的命题。

   最后,罗巴切夫斯基得出两个重要的结论:
    第一,第五公设不能被证明.
    第二,在新的公理体系中展开的一连串推理,得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理,并形成了新的理论.这个理论像欧氏几何一样是完善的、严密的几何学. 
   
这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何,简称罗氏几何。这是第一个被提出的非欧几何学.

由于两千年来,人们坚信欧氏几何是唯一可靠的几何,其他任何与之矛盾的几何是绝对不能接受的,受这种传统偏见的约束,要承认非欧几何是需要一定的勇气的.

    高斯是真正预见到非欧几何的第一人.不幸的是,毕其一生高斯没有关于非欧几何发表什么意见.他的先进思想是他与好友的通信、对别人著作的评论,以及他死后从稿纸中发现的几份札记.虽然他克制自己,没有发表自己的发现,但是他鼓励别人坚持这方面的研究.

    预见到非欧几何的第二人是匈牙人 J.波尔约,他的父亲与高斯长期交往甚厚,并对平行公设感兴趣. J.波尔约受他父亲的影响热衷于这项研究,大约在1825年建立起非欧几何的思想,写了一篇26页的论文,作为附录附于他父亲的一本书中.

虽然人们承认高斯和 J.波尔约是最先料想到非欧几何的人,但俄罗斯数学家罗巴切夫斯基实际上是有系统发表此课题著作的第一人.他赢得了几何学上的哥白尼的称号.

    罗氏几何除了一个平行公理之外采用了欧氏几何的一切公理。因此,凡是不涉及到平行公理的几何命题,在欧氏几何中如果是正确的,在罗氏几何中也同样是正确的。在欧氏几何中,凡涉及到平行公理的命题,在罗氏几何中都不成立,他们都相应地含有新的意义。下面举几个例子加以说明: 

欧氏几何
同一直线的垂线和斜线相交。
存在相似的多边形。
过不在同一直线上的三点可以做且仅能做一个圆。

罗氏几何
同一直线的垂线和斜线不一定相交。
不存在相似的多边形。
过不在同一直线上的三点,不一定能做一个圆。

第二种非欧几何的发现者是德国数学空黎曼.黎曼用过直线外一点,不能作直线和已知直线平行.来代替第五公设,从而产生了黎曼的非欧几何.

黎曼于1826917日,出生在德国的一个农村。19岁到哥廷根大学读书,成为高斯晚年的一名高才生。哥廷根大学在后来的100多年里一直是世界数学的研究中心。黎曼毕业后留校任教。15年后(1866年)死于肺结核。他在1851年所作的一篇论文《论几何学作为基础的假设》中明确的提出另一种几何学的存在,开创了几何学的一片新的广阔领域。
黎曼几何中的一条基本规定是:在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。在黎曼几何学中不承认平行线的存在。

代数的质变:

群、环、域等代数结构的研究

19世纪,代数也出现质的变化.以往的代数是关于数字的算术运算学说,现在这种算术运算是脱离了具体数字在一般形态上形式地加以考察.现代代数理论是19世纪从许多数学家的研究中形成的,其中尤以法国数学家伽罗华著称.群论线性代数是现代代数中内容丰富的两个分支.         

伽罗华Eacute variste Galois,公元1811-公元1832年)是法国对函数论、方程式论和数论作出重要贡献的数学家,他的工作为群论(一个他引进的名词)奠定了基础;所有这些进展都源自他尚在校就读时欲证明五次多项式方程解(Solution by Radicals)的不可能性(其实当时已为阿贝尔(Abel)所证明,只不过伽罗华并不知道),和描述任意多项式方程可解性的一般条件的打算。虽然他己经发表了一些论文,但当他于1829年将论文送交法兰西科学院时,第一次所交论文却被柯西(Cauchy)遗失了,第二次则被傅立叶(Fourier)所遗失;他还因撰写反君主制的文章而被开除,且因信仰共和体制而两次下狱。他第三次送交科学院的论文亦为泊松(Poisson)所拒绝。伽罗华死于一次决斗,可能是被保皇派或警探所激怒而致,时年21岁。他被公认为数学界两个最具浪漫主义色彩的人物之一。
后来的一些著名数学家们说,他的死使数学的发展被推迟了几十年。

 

 

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