福建省普通高中数学学科教学指导意见

作者: 来源: 发布时间:2016年10月11日
 

福建省普通高中数学学科教学指导意见

为贯彻落实《国家中长期教育改革和发展规划纲要(2010~2020)》《国务院关于深化考试招生制度改革的实施意见》以及教育部《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》等文件的精神,加强和改进我省普通高中学科教育教学工作,全面提升普通高中教育教学质量,根据《普通高中课程方案》《普通高中数学课程标准(实验)》《普通高等学校招生全国统一考试大纲》《普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明》的要求,结合我省的教学实际,特提出福建省普通高中数学学科教学指导意见。

一、理念阐述

(一)突出育人价值

高中数学课程应全面贯彻党的教育方针,以党的“十八大”提出的立德树人根本任务为指导,全面贯彻落实《国家中长期教育改革和发展规划纲要(2010—2020年)》和教育部《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》的有关要求;以《普通高中数学课程标准》为依据,按照“德育为先,能力为重,全面发展”的总要求,遵循学生身心发展规律,结合数学学科特点,有机融入社会主义核心价值观教育和中华优秀传统文化教育,培养学生的理性精神和科学精神,形成正确的世界观、人生观和价值观,充分彰显“数学育人”的价值。

(二)发展核心素养

高中数学教学的关键是启发学生学会数学思考,引导学生会学数学、用数学。要根据数学学科的特点,发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等数学核心素养,学会用数学眼光观察世界,用数学思维分析世界,用数学语言表达世界。要树立以发展学生数学核心素养为导向的课程意识与教育意识,将核心素养的培养贯穿于数学教学的全过程。要创设有利于学生数学核心素养发展的教学情境,引导学生把握数学本质,感悟数学思想,提升学生的核心素养。

在制定课堂教学目标时应以数学知识的学习为载体,以数学核心素养立意,依据发展学生核心素养的要求选择和组织学习素材,并通过情境创设和任务驱动等方式,精心设计系列学习和实践活动,让学生在学习和应用数学的过程中发展核心素养,形成理性思维,培养创新精神和实践能力。注意数学核心素养与具体教学目标的关联,既体现它们之间的相互交融,更体现数学核心素养在目标上的统领作用,还要关注数学核心素养目标在教学中的可实现性,要研究其融入教学内容和教学过程的具体方式及载体,使数学核心素养真正成为可以落实的教学目标。

(三)突出数学本质

高中数学主线交织,从知识层面看,应注重知识主线的逻辑走向,注意相互间的关联,强化核心内容要求;从素养层面看,应发挥各种能力和思想方法对高中数学知识的统摄作用,保持能力训练的逻辑连贯性和思想方法的前后一致性。为有利于学生学习,教学中应突出数学本质,注重上述两条主线的交融、协调,从整体上把握教学内容。

高中数学尽管内容多样,但在本质上是一个整体,不同知识、不同单元之间都存在实质性联系,教学时要凸显这些联系,关注内容主线之间的关联以及同一个内容主线中重要知识点之间的关联。注重知识背后的数学思想、方法的贯通,注重形、数之间的结合,引导学生进行学习内容逻辑线索的梳理,强化在数学实践活动中综合运用数学知识的能力。此外,对重要的数学概念、定理以及思想方法要体现循序渐进、螺旋上升的原则,从整体性上形成解决问题的策略。

(四)增强问题意识

问题是数学的心脏。合适的问题应设置在学生思维的最近发展区,有助于学生理解概念、形成定理,有助于学生了解知识的来龙去脉,经历知识的发生和发现的过程,有助于发展学生的问题意识、探索精神。进行教学设计时,教师应根据教学目标、教学内容、教学重点及难点,把主要学习内容转换成教学问题。实际教学中,教师应立足学习者的角度进行设问,把需要讲解的教学内容,转换成一个个有序的、层层递进的教学问题。同时还应设置适当的发散性问题,培养学生的求异思维和创新能力.当然,增强问题意识的根本还在于对数学课程、教材的理解.

(五)融合数学文化

在高中数学教学中,应有意识地结合相应的教学内容,引导学生了解数学与人类发展的相互作用,体会数学的科学价值、文化价值和应用价值,体会数学对于人类文明发展的贡献。要有机融入数学史,在寻求数学发展历史轨迹的过程中,激发学生数学创新的原动力,提升学生的文化素养和科学精神,实现科学性与文化性的融合,体现时代特征。

(六)整合信息技术

信息技术的发展改变了人的交流方式和学习方式。信息技术与数学的融合是将两者有机地融为一体,浑然天成。技术是融合的手段,服务于数学的课程目标;课程目标是融合的目的,决定融合的模式和方法。《基础教育课程改革纲要(试行)》指出:“大力推进信息技术在教学过程中的普遍应用,促进信息技术与学科课程的整合,逐步实现教学内容的呈现方式、学生的学习方式、教师的教学方式和师生互动方式的变革,充分发挥信息技术的优势,为学生的学习和发展提供丰富多彩的教育环境和有力的学习工具。”信息技术应用于数学课堂,使数学交流更适时、便捷,数学探究更直观、形象。因此,要积极思考如何利用信息技术丰富学生的学习方式、促进数学理解,提高学习效率,并在教学中恰时恰点地应用信息技术,积极发挥信息技术在建构数学概念、发现数学结论、突破学习难点、改进教学方式、培养数学表达、传播数学技术等方面的作用.

二、 课程开设

课程开设要符合《普通高中数学课程标准》,根据福建省课程开设指导意见,结合学校实际、学科特点、学生需求和高考实际,关注课程的多样性和选择性,合理选择方案,安排课程内容,使不同的学生在数学上获得不同的发展,形成积极的情感、态度、价值观,提升学生的数学素养。

(一)        模块选择

根据《福建省普通高中新课程选修I课程开设指导意见》的要求,结合教育部考试中心制定的《考试大纲》的要求,合理调整课程安排,认真做好选课指导。鼓励学生根据自己的不同潜能和发展需求,在选修Ⅰ中选修更多的模块,实现全面而富有个性的发展。福建省普通高中新课程数学必修、选修I模块开设见下表。

 

 

 

科目

必修

选修I

说  明

学校必须开设的模块(A)

学校应创造条件

开设的模块(B)

 

 

 

数学1

数学2

数学3

数学4

数学5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10学分

1.选修1-1、选修1-2

2.系列3中的2个专题

3.系列4中的4-1几何证明选讲、4-4坐标系与参数方程、4-5不等式选讲等3个专题中,任选2个专题

 

共8学分

1.系列3中学校选开的2个专题以外的专题

2.系列4中学校选开的2个专题以外的专题

 

1.在学校必须开设的模块中,学校应为人文社科发展倾向和理工科发展倾向的学生开设系列3中的2个专题及表中所列的系列4中的2个专题,共4个专题。

  2.在学校应创造条件开设的模块中,学校可根据实际情况,在已开设的专题外,建议学校应至少再开设2个专题供学生选择。

1.选修2-1、选修2-2、选修2-3

2.系列3中的2个专题

3.系列4中的4-1几何证明选讲、4-4坐标系与参数方程、4-5不等式选讲等3个专题中,任选2个专题

  

10学分

 

 

(二)课时安排

新课程为学生提供了多样化的选择空间。据此,学生可以选择不同的课程组合。课程的组合应具有一定的灵活性,不同的组合可以相互转换。为了给学生提供多层次、多种类的选择,使不同的学生在数学上得到不同的发展,排课方案应充分考虑学校的实际情况,并充分利用校内外的各种教育资源。下面提供一些排课方案供学校参考。

 

 

方案一

高一

高二

上学期

下学期

上学期

第一学段

第二学段

第一学段

第二学段

第一学段

第二学段

必修1

4课时/周

必修2

4课时/周

必修3

4课时/周

必修4

4课时/周

必修5

4课时/周

文:选修1-1

理:选修2-1

4课时/周

义务教育与高中衔接

1课时/周

选修系列3中的一个专题

1课时/周

选修系列3中的一个专题

1课时/周

安排一次完整的数学探究活动

高二

高三

下学期

上学期

下学期

第一学段

第二学段

第一学段

第二学段

第一学段

第二学段

文:选修1-2理:选修2-2

4课时/周

文:选修系列4中的二个专题

理:选修2-3

4课时/周

文:选修系列4中的另二个专题(可不选)

理:选修系列4中的二个专题

4课时/周

选修4系列中的另二个专题

4课时/周

(可不选)

总复习

选修4系列中的一个专题

1课时/周(文可不选)

 

安排一次完整的数学建模活动

                 

 

方案二

年级

上学期

下学期

 

第一学段

第二学段

第一学段

第二学段

 

高一

必修1

4课时/周

必修3

4课时/周

必修2

4课时/周

必修4

4课时/周

 

义务教育与高中衔接

1课时/周

选修系列3中的一个专题

1课时/周

 

安排一次完整的数学探究活动

 

高二

必修5
4课时/周

文:选修1-1
理:选修2-1
4课时/周

文:选修1-2
理:选修2-2
4课时/周

文:选修系列4中的二个专题

理:选修2-3
4课时/周

 

选修系列3中的一个专题
1课时/周

选修系列3中的一个专题
1课时/周

 

安排一次完整的数学建模活动

 

高三

文:选修系列4中的另二个专题(可不选)

理:选修系列4中的二个专题
4课时/周

选修系列4中的另二个专题

4课时/周
(文可不选)

总复习

 
 

三、教学要求

本教学要求以教育部颁布的《普通高中数学课程标准》为依据,以知识点为单位对各模块的“内容标准”提出较明确、具体的学习要求以及相应的教学建议。其中,内容标准罗列了该模块的所有知识点;学习要求则对“内容标准”中的知识点按照三维目标的要求进一步细化,并对学习目标提出明确的要求;教学建议是对教学策略、教学方式、教学方法、教学活动以及教师在教学中应如何落实相关的知识点、怎样把握教学的深度和广度等提出相应的建议。

 

必修1

本模块包含集合、函数概念与基本初等函数I(指数函数、对数函数、幂函数)。

使用集合语言,可以简洁、准确地表达数学的一些内容,是学生进行交流的一种工具。

    函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型,函数的思想方法贯穿高中数学课程的始终。通过学习基本初等函数,能运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题,感受运用函数概念建立模型的过程和方法,体会函数在数学和其他学科中的重要性。

集合

内容标准

学习要求

教学建议

集合的含义与表示

1.了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系。初步掌握集合的表示方法,感受集合语言的意义和作用.

2.能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.

3.感受运用集合语言描述数学对象时的简洁和准确,体会数学的简洁美.

1.通过一些生活实例帮助学生直观了解集合的含义及其有关概念,对集合元素的“确定性、互异性、无序性”可以简单介绍,但不宜作过多、过深的训练.

2.集合的表示方法主要有列举法、描述法、图示法,它们各有优点,可以通过一些实例帮助学生感悟、领会;借助数轴表示数的集合,借用平面直角坐标系表示有序实数对集合,体现数与形的联系.

3.通过具体的实例帮助学生体会自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)在描述具体问题时的不同特点和作用.

4.集合语言的使用,应在以后的教学中通过对不同数学问题的描述不断进行巩固和深化.

集合间的基本关系

1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集,了解全集与空集的含义.

2.会用集合的语言描述集合间的关系.

3.能使用Venn图表达集合间的关系,体会直观图示对理解抽象概念的作用.

4.通过观察、分析、类比等方法研究集合间的关系,培养逻辑思维能力,体会数形结合、分类讨论等数学思想方法.

1.集合间的包含关系是一个难点,要引导学生正确使用集合语言进行描述,并通过Venn图帮助学生直观认识集合间的关系.

2.通过具体情境帮助学生了解全集、空集的定义.

3.通过实例引导学生认识子集的性质;对于集合的子集个数研究,给定集合的元素应不超过3个.

集合的基本运算

1.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.

2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.

3.能使用Venn图表示集合的运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用.

 

1.引导学生用集合语言准确描述集合间的基本运算,利用Venn图或数轴帮助学生直观认识集合间的基本运算;注意强调补集的概念应在全集的基础上产生.

2.对于集合的运算性质的教学应充分利用Venn图或数轴的直观展示,帮助学生进行正确理解.

3.集合的基本运算只要求能够求简单集合的交、并、补.

 

函数概念与基本初等函数Ⅰ

内容标准

学习要求

教学建议

函数的概念

1.体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,体会对应关系在刻画函数概念中的作用,了解映射的概念.

2.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域.

3.通过对具体实例的观察分析、抽象概括和归纳总结,体会函数思想,提高辩证思维的能力.

1.函数概念的教学应从学生在义务教育阶段已掌握的具体函数和函数的定义入手,引导学生联系生活经历和实际问题,通过学生熟悉的实例,体会数集之间的一种特殊的对应关系,构建函数的一般概念.

2.通过实例帮助学生了解相同函数的涵义;对函数的定义域和值域,现阶段只要会求一些简单具体函数的定义域和值域.

3.引导学生发现函数实质上是一种特殊的映射,帮助学生理解函数和映射的关系.

函数的表示

1.会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.

2.借助具体实例,了解简单的分段函数,并能应用其解决一些简单的问题.

3.会合理应用现代信息技术直观展示函数的图象,体会现代信息技术是认识世界的有效手段和工具.

1.函数的表示方法主要有列表法、解析法、图象法,教学中应讲清这几种表示法的优、缺点,帮助学生根据不同的条件合理地选择恰当的方法表示函数.

2.注意提高学生的画图技能,会正确画一次函数、二次函数等一些简单函数的图象,为函数性质的研究打下基础. 

3.对函数解析式的求法不宜作太深、太难的要求,求函数的解析式时应注意函数定义域的确定.

4.分段函数的每一个分段是这一函数的一部分,教学时应根据“先分后合”的原则进行。分段函数的定义域是函数各段自变量集合的并集,值域是各段函数值集合的并集.

函数的单调性

 

1.根据已学过的函数图象的特征,理解函数的单调性;会判断一些简单函数的单调性.

2.理解函数的最大(小)值及其几何意义,会利用函数单调性求函数的最大(小)值,体会函数方程思想.

3.利用函数图象直观认识函数的单调性,体会数形结合思想,提高形象思维能力.

4.在函数单调性的学习中,培养和训练逻辑推理能力.

1.函数单调性的理解应通过观察已学过的函数(特别是二次函数)图象的特征,形成增(减)函数的直观认识, 再通过具体函数值的大小比较,认识函数值随自变量的变化而变化的规律.

2.应讲清函数的单调区间是其定义域的子集,是函数在这个区间的“整体”性质.

3.判断函数单调性常用比较法,应通过具体的实例讲清解题步骤,培养学生抽象概括能力和推理能力;但现阶段不要求用函数单调性的定义判断复合函数的单调性.

4.应引导学生通过研究具体函数图象、分析函数的单调性求函数最大(小)值,特别是二次函数的最大(小)值.

函数的奇偶性

1.了解函数奇偶性的含义,会判断一些简单函数的奇偶性.

2.学会运用函数图象研究函数奇偶性;了解奇、偶函数的图象特点,培养“以形助数、以数解形”的辩证思维能力.

1.通过具体函数的图象引导学生认识奇、偶函数的特点.

2.函数奇偶性的判断、证明要严格按照定义进行,培养学生“言之有据”的逻辑推理习惯.

指数函数

1.理解n次方根、n次根式的概念及其性质,了解分数指数是根式的一种新的写法,掌握根式与分数指数幂的互化.

2.理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算及性质.

3.了解指数函数模型的实际背景,理解指数函数的概念,了解对底数的限制条件的合理性,知道指数函数的定义域.

4.能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点.

5.在解决简单实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型.

6.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习,训练观察、分析、归纳的能力,体会数形结合思想.

1.能熟练运用根式与分数指数幂的互化进行幂的运算.

2.指数函数的定义是一种形式定义,即解析式的特征必须是 的样子;让学生了解规定底数大于0且不等于1的合理性.

3.教学中应通过作图、观察、实践,归纳指数函数图象的特征,引导学生先对函数的性质作一些简单的讨论,获得对要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势的大概认识后,再正确地取点、列表、描点,作出函数图象.

4.在理解指数函数定义的基础上掌握指数函数的图象和性质是本节的教学重点,对底数时函数值变化情况的区分是教学的难点,用列表方式是熟悉特征、把握性质、加深理解的好方法;应借助信息技术辅助手段,通过在同一坐标系中画出不同底数的指数函数图象,直观形象地了解底数是如何影响指数函数的图象和性质的.

5.指数函数是一种重要的函数模型,在生活实践中有广泛的应用.在教学中要贯穿理论联系实际、学以致用的观点,充分体现数学的应用价值.

对数函数

1.理解对数的概念及其运算性质,能认识到指数与对数运算之间的互逆关系.理解对数的运算性质,会用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数,能利用运算性质完成简单的对数运算.

2.了解对数的发现历史以及对简化运算的作用.

3.理解对数函数的概念,了解对底数的限制条件的合理性,知道对数函数的定义域.

4.能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点.

5.知道指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数(a>0,a≠1).

6.在解决简单实际问题的过程中,体会对数函数是一类重要的函数模型.

7.会通过类比指数函数的学习,研究对数函数的概念、图象、性质.

1.对数概念是本节的一个难点,它与指数概念紧密相连,是对同一关系从不同角度的刻画,要重视对数式与指数式的互化.

2.对数运算法则的探究,可通过具体实例,由特殊到一般归纳出法则,再利用指数式与对数式的关系完成证明,对换底公式等其他法则的证明应引导学生利用已证结论完成,强化“用数学”的意识.

3.对数运算法则可以类比指数运算法则对照记忆,教学中应强化法则成立的条件,要注意每一个对数式中字母的取值范围,并让学生认清对数运算的优越性.  

4.对数函数的定义也是一种形式定义,即解析式的特征必须是的样子;让学生了解规定底数大于0且不等于1的合理性.

5.应引导学生类比指数函数图象和性质的研究方法来学习对数函数图象和性质.

6.教学中要让学生树立分类讨论的意识,充分认识底数时函数值的变化情况;应借助信息技术辅助手段,通过在同一坐标系中画出不同底数的对数函数图象,让学生直观形象地了解底数是如何影响对数函数的图象和性质的.

7.对于反函数,只要求学生能根据具体的函数图象,知道同底对数函数与指数函数互为反函数,不要求讨论形式化的反函数定义,不引进反函数符号,不要求求已知函数的反函数.

幂函数

1.了解幂函数的概念.

2.能结合幂函数y=,y=2, y=3,,的图象,了解它们的变化情况.

幂函数的定义只是一种形式定义,即解析式的特征必须是的样子,教学中只要求研究几个常见的幂函数(y=,y=2,y=3,,)的图象和性质,其他的幂函数不作要求.

函数与方程

1.了解用二分法求方程近似解的原理.

2.了解函数零点的概念,理解函数零点与相应方程的根的关系,会根据函数在闭区间满足,判断连续函数在区间内有零点.

3.在使用计算器的过程中,体会现代信息技术是认识世界的有效手段和工具.

 

    1.对函数与方程的关系的认识必须遵循由浅入深、循序渐进的原则,从学生熟悉的一元二次方程与相应的二次函数入手,建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系,然后将其推广到一般方程的根与相应的函数的零点联系.

 2.教学中应引导学生借助计算器用二分法求方程的近似解,体会现代信息技术是认识世界的有效手段和工具.

3.教学中要有目的、有意识地渗透算法思想,为必修3的学习奠定基础.

函数模型及其应用

1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征,了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.

2.能利用函数图象、解析式等知识正确解决生活中的数学问题,能够根据图表数据信息,建立拟合函数解决实际问题.

3.通过收集17世纪前后发生的一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物的有关资料或现实生活中的函数实例,体会数学在人类文明发展中的作用,逐步形成正确的数学观.

1.在函数应用的教学中,注意选择学生熟悉的背景,通过不同的函数模型的应用,引导学生不断地体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型,体验一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、分段函数等与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用.

2.对于函数模型的拟合,应当引导学生通过画散点图,研究数据的变化趋势,然后确定函数模型,最后还应注意对求得的函数模型进行检验.

3.对于实习作业,应要求学生根据某个主题,收集有关资料或实例,采取小组合作的方式撰写有关函数概念的形成、发展或应用的文章,在班级中进行交流.

 

数学2

本模块包含立体几何初步、平面解析几何初步。

    在立体几何初步部分,学生将先从对空间几何体的整体观察入手,认识空间图形;再以长方体为载体,直观认识和理解空间点、线、面的位置关系;能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定,并对某些结论进行论证。学生还将了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。

    解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质,体现了数形结合的重要数学思想。在本模块中,学生将在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程,运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系,并了解空间直角坐标系。体会数形结合的思想,初步形成用代数方法解决几何问题的能力。

立体几何初步

内容标准

学习要求

教学建议

空间几何体的结构.

1.了解柱、椎、台、球及其简单组合体的结构特征,能用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.

2.了解直棱柱、正棱柱、正棱锥的概念以及结构特征,了解球的截面的简单性质.

3.通过柱、锥、台、球的学习,提高观察、分析、抽象、归纳等认知能力,体会分类、类比等思想方法.

4.会用运动、变化、联系的观点揭示柱、锥、台之间的联系与区别,用辩证统一的哲学观点认识多面体、旋转体的概念.

1.对空间几何体结构认识的教学,应遵循先整体后局部、先直观后抽象的原则.

2.利用几何体的实物、模型、图片等资源,利用现代信息技术展示空间图形,通过直观感知,再抽象归纳出有关空间几何体的结构特征,并形成概念,为理解和掌握图形的几何性质提供支持.

3.通过变式、反例,提高对有关几何体的认识,并进一步引导学生运用柱、锥、台、球等基本几何体的特征,描述现实生活中简单物体的结构.

 

空间几何体的三视图

1.了解中心投影与平行投影,通过观察用两种方法(平行投影与中心投影)画出的视图与直观图,了解空间图形的不同表现形式.

2.理解三视图的概念,能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简单组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型.

3.会根据几何体的三视图,会使用材料(如纸板)制作模型,养成动手实践的习惯,提高动手实践能力.

1.结合绘画与太阳光线投射等具体事例,讲解中心投影与平行投影这两种投影方式,应抓住投射线的特点来区分这两种不同的投射方式,重点是平行投影;抓住投射线与投影面的关系来区分正投影、斜投影两类不同的平行投影,重点是正投影.

2.可通过实验演示,直观感知平行投影的基本性质.

3.结合具体的几何模型,画出长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体等空间几何体三视图,能识别给出的三视图所表示的立体模型.

空间几何体的直观图

1.理解斜二测画法的步骤,会用斜二测画法画出简单空间几何体的直观图.

2.理解三视图与直观图的内在关系,能画出已知三视图的几何体的直观图.

3.理解斜二测画法是一种特殊的平行投影画法.

1.通过实例教学,归纳总结斜二测画法画几种水平放置的平面图形的方法和步骤.

2.可用椭圆模板画水平放置的圆的直观图.

棱柱、棱锥、台和球的表面积

1.了解多面体表面积的概念,知道棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图可分别由若干个平行四边形、三角形、梯形组成.

2.通过对多面体的展开图的识别,提高空间想象能力.

3.了解圆台的侧面展开图是一个扇环,会用圆台的表面积公式计算圆台的表面积.

4.了解球面不能展开成一个平面图形,会用球的表面积公式计算球的表面积.

5.掌握把柱、锥、台的侧面展成平面图形的方法,初步体会把空间图形化归为平面图形解决问题的思想.

6.会用运动、变化、联系的观点揭示圆柱、圆锥、圆台表面积之间的关系,能圆柱、圆锥的表面积公式统一在圆台的表面积之下.

1.通过不同的展开方式得到有关多面体的展开图,加深对表面积概念的理解,体会把空间图形转化为平面图形解决问题的思想.

2.通过回顾圆柱、圆锥的形成过程及其几何特征得出圆台的侧面展开图是一个扇环.

3.在认识柱、锥、台表面积的同时,把圆柱看成上下底面全等的圆台,圆锥看成上底面半径为零的圆台,实现圆柱、圆锥的表面积公式统一于圆台表面积公式之下.

4.对于圆台的表面积公式推导,可鼓励学生课后自主探究推导方法,对于球的表面积公式可不必推导.

 

柱、锥、台、球的体积

1.了解柱、锥、台、球的体积公式,会用这些公式计算相关几何体的体积.

2.用运动、变化、联系的观点揭示柱、锥、台体积公式之间的关系.

1.关注初、高中相应的衔接内容,通过复习义务教育阶段相应的体积公式,运用类比联想等方法推广得到一般柱体、锥体的体积公式.

2.通过动手实践,利用模型装水或沙等方法获得柱、锥体积之间的关系.

3.通过柱、锥、台几何体结构特征之间的关系,把柱、锥的体积公式统一于台的体积公式之下.

平面的基本性质

1.了解平面的概念.

2.了解以下公理:

公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.

公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.

公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

3.会用集合相关符号表示有关的点、线、面的位置关系;会从图形、文字、符号这三种不同的数学语言理解相关公理.

1.通过联系实际提出问题,引入平面的概念,并注意与直线进行比较.

2.通过直观感知、操作确认了解三个公理.

3.通过先给出图形,再用文字和符号进行描述,综合运用几种数学语言以提高对公理所蕴涵的数学本质的理解.

4.对于公理2的教学,可补充介绍以下三个推论,以增强学生空间想象能力,提高对平面的基本性质的理解(但不要求证明)

⑴经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面.

⑵经过两条相交直线,有且只有一个平面.

⑶经过两条平行直线,有且只有一个平面.

空间中直线与直线的位置关系

1.了解异面直线及其成角的概念,知道空间两条直线位置关系的分类,并会判断两条异面直线是否垂直.

2.了解空间平行线的传递性公理(公理4)及其空间等角定理.

3.学会用对比、引申、联想等方法,由平面几何通过合情推理发现或理解相关空间几何性质.

4.自觉培养在空间中考虑问题的良好思维习惯.

1.通过以长方体为载体,经过观察、分析,归纳直线和直线的位置关系.

2.为了便于介绍直线与直线的垂直关系,建议引入异面直线所成角的概念.

3.对于异面直线所成角的计算,只要求会求以长方体、正方体等几何体为载体的异面直线所成的角.

直线与平面、平面与平面之间的位置关系

1.理解直线与平面、平面与平面之间的位置关系,知道分类标准是两个几何图形的公共点个数.

2.通过对相关位置关系的探索归纳,确立分类标准,体会分类思想.

1.通过生活实例以及对长方体模型的观察思考,引导学生归纳出直线与平面、平面与平面的位置关系.

2.结合公理1说明直线与平面的位置关系分类的合理性,结合公理3说明平面与平面有且仅有两种位置关系,并与直线和直线的位置关系进行比较.

直线和平面、平面与平面平行的判定

1.理解直线和平面、平面与平面平行的判定定理.

2.学会把空间位置关系转化为平面位置关系处理,体会化归思想.

1.通过直观感知、操作确认,理解直线与平面平行的判定定理.以长方体为载体,通过观察、分析、归纳,得到平面与平面平行的判定定理,这两个判定定理均不要求证明(证明将在选修系列的有关课程中用向量的方法加以论证).

2.“平面内两条相交直线分别平行了另一个平面内的两条直线,则这两个平面平行”可作为平面与平面平行判定的补充范例,提高推理论证能力及识图能力,但不要求在几何论证中直接应用.

直线与平面、平面与平面平行的性质

1.掌握直线与平面、平面与平面平行的性质定理

2.理解直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行关系可以相互转化.

1.结合相关位置关系的定义,通过思辨论证直线和平面、平面与平面平行的性质定理,揭示直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行关系可以相互转化.定理的证明要求掌握.

2.“平面外两平行直线中的一条平行于一个平面,那么另一条也平行于这个平面”,可作为直线与平面平行性质的补充范例,提高论证能力及空间识图能力,但不要求在几何论证中直接应用.

直线与平面、平面与平面垂直的判定

1.理解直线与平面垂直的概念,理解平面与平面垂直的概念

2.理解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理.

3.理解直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的垂直关系可以相互转化.

1.直观感知,体会直线与平面的垂直是特殊的有实际意义的位置关系.

2.通过直观感知、操作确认理解直线和平面垂直的判定定理,不要求证明.

3.为了加深对直线和平面垂直的概念及其判定定理的理解,可补充平面的斜线、斜线在平面内的射影以及直线与平面所成角的概念(直线与平面所成角的计算主要安排在选修课中学习).

4.三垂线定理可作为直线和平面垂直的判定定理应用的补充范例,但不要求在几何论证中直接应用.

5.为了便于引入平面与平面垂直的关系,可补充二面角概念,根据二面角的大小来定义平面与平面斜交与垂直,重点是平面与平面垂直的判定定理的应用.

直线与平面、平面与平面垂直的性质

1.掌握直线与平面、平面与平面垂直的性质定理.

2.理解直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的垂直关系可以相互转化.

1.分别运用反证法、综合法证明直线与平面、平面与平面垂直的性质定理,揭示它们的本质,即 :直线和平面垂直性质定理揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系,而平面与平面的性质定理则蕴涵着直线和平面的垂直与平面和平面垂直的互相转化.

2.补充讲解 “与平面的垂线平行的直线也垂直于这个平面”、“过一个平面内一点向这个平面的垂面引垂线,则垂线在这个平面内”,拓宽学生空间识图能力.

解析几何初步

内容标准

学习要求

教学建议

 

 

 

倾斜角和斜率

 

1.理解确定直线位置的几何要素.

2.理解直线的倾斜角概念及其取值范围.

3.理解直线、直线的倾斜角和直线的斜率三者之间的关系.

4.掌握过两点的直线斜率的计算公式.

5.学会从不同的角度,应用不同的数量指标,揭示事物的同一个性质(直线的倾斜程度),提高分析问题解决问题的能力.

1.通过直观感知过一点的直线系中各直线的倾斜程度引入倾斜角概念并理解其取值范围.

2.结合义务教育学过的“坡度”“坡角”及其关系引入斜率概念、直线的倾斜角和斜率对应关系.

3.为了便于推导直线的倾斜角和斜率的对应关系可补充互为补角的正切诱导公式.诱导公式直接给出,不要求证明.

4.运用信息技术或科学计算器,计算一些倾斜角的正切值,提高对倾斜角和斜率的一一对应关系的理解.

5.结合对确定直线的几何要素的回顾以及“坡度”与“坡角”的关系,引导学生探究过两点的直线斜率的计算公式.

两条直线的平行或垂直

1.掌握根据斜率的关系判断两条直线平行或垂直的方法,并应用于直角三角形、平行四边形、矩形等具有平行或垂直这些特殊特征的平面图形以及三点共线的判断.

2.经历与体验从两直线的代数特征(斜率关系)探究几何特征(位置关系)的过程,体会用代数方法研究几何问题的思想.

1.通过对两直线的斜率存在与否以及关系的分类讨论,系统掌握根据斜率关系判断平行或垂直的方法.

2.对于两条直线垂直的充分条件的证明,要补充诱导公式tan(90+)=-,诱导公式只要用科学计算器进行计算验证,不要求证明.

直线的方程

1.掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式.

2.理解斜截式是点斜式、截距式是两点式的特例.

3.会根据条件合理选择直线方程的形式求直线的方程.

1.结合确定直线位置的几何要素的分析,展开直线方程的点斜式、两点式的教学,并引申拓展它们的特例斜截式与截距式.

2.通过直线的斜截式与一次函数进行比较,指明方程中相关参数的几何意义,以提升对一次函数以及平行直线系或共点直线系的理解,初步认识曲线系.

3.通过对直线方程的点斜式、两点式及其特例的分析,使学生了解引入直线方程一般式的必要性,会根据条件合理选择直线的方程形式求直线的方程.

直线的交点

1.能用解方程组的方法判定两直线的位置关系,掌握两条相交直线交点坐标的求法.

2.领悟直线之间位置关系的研究可转化为它们方程组成的方程组的研究,体会数形结合思想.

1.通过对不同位置关系的直线(平行、相交、重合)与联立它们方程组成的方程组解的情况进行比较归纳,得出直线的位置关系与方程组的解的情况之间的内在关系(三类).

2.可通过作图直观验证求两直线交点的代数方法的正确性,提高学生自觉应用解方程组的方法求交点的意识,体会数形结合思想.

两点的距离、点到直线的距离

1.探索并掌握两点间的距离公式,点到直线的距离公式,会求两平行直线间的距离.

2.会用两点间的距离公式,点到直线的距离公式证明一些与线段度量有关的平面几何的证明.

3.通过平几问题的解决,体会用代数方法研究几何问题的基本思想与步骤.

1.对距离公式的推导,重在算法的设计,转化思想的体现,可从特殊到一般加以探究.

2.以简单的几何证明为载体渗透建系、坐标化解决平面几何问题,重在体会用代数方法研究几何问题的基本思想与步骤,理解解析几何的本质,不宜要求太高.

3.两平行直线间的距离公式推导可作为求点与直线的距离的补充范例,重在渗透化归与转化、特殊与一般的思想,提高推理论证能力.

圆的标准方程、一般方程

1.能合理根据条件选择方程形式求圆的方程,掌握圆的标准方程与一般方程的互化方法,会求圆的圆心、半径.

2.经历和体会待定系数法在求曲线方程中的应用,熟练掌握用待定系数法求圆的方程.

3.正确理解直线与方程、圆与方程的对应关系,初步了解曲线的方程与方程的曲线的概念.

1.通过确定圆的几何要素分析,引入圆的标准方程.

2.通过配方法,揭示特殊的二元二次方程表示的曲线,渗透分类与整合思想,重在要求学生理解过程与方法,不要求记忆相关结论.

3.通过运用多种解法求以已知三点为顶点的三角形的外接圆的方程,渗透待定系数法的教学,并比较分析,提高学生合理根据条件选择适当的方程形式求圆的方程的能力.

4.通过补充一些求曲线方程的范例,提高学生对曲线和方程的关系的理解,但不要补充一般曲线的方程和方程的曲线的概念.

直线和圆、圆与圆的位置关系

1.会用研究方程组的方法判定直线和圆、圆与圆的位置关系,会用圆心到直线的距离、圆心距、半径等判定直线与圆、圆与圆的位置关系.

2.进一步深化与巩固数形结合思想,领悟以数解形与以形助数相辅相成.

1.通过研究方程组和比较相关几何量的大小关系这两种不同途经,分别解决直线和圆、圆与圆的位置关系的判断,深化解析几何中的数形结合思想,并经过比较分析,优化解决问题的途径.

2.通过补充一些范例,引导学生进一步探索运用代数法解决平面几何问题,增强运用意识.

3.通过补充一些范例,使学生理解以数解形很重要,同时以形助数也不可忽视.

空间直角坐标系、空间两点间的距离

1.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标刻画点的位置,理解空间两点间的距离公式,会根据公式求给定两点的距离.

2.知道合情推理是科学发现的有效途径之一,自觉养成运用类比方法进行合情推理的习惯.

1.通过回顾直角坐标系相关内容,引入空间直角坐标系.

2.通过类比进行空间点的位置刻画的教学,运用类比合情推理引入空间两点间的距离公式.

3.可借助长方体直观模型,展开相关内容的教学.

       

 

必修3

本模块包含算法初步、统计、概率。

    算法是数学及其应用的重要组成部分,是计算科学的重要基础。学生将在义务教育阶段初步感受算法思想的基础上,结合对具体数学实例的分析,体验程序框图在解决问题中的作用;通过模仿、操作、探索,学习设计程序框图表达解决问题的过程;体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性,发展有条理的思考与表达的能力,提高逻辑思维能力。

统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科,它可以为人们制定决策提供依据。学生将在义务教育阶段学习统计与概率的基础上,通过实际问题情境,学习随机抽样、样本估计总体、线性回归的基本方法,体会用样本估计总体及其特征的思想;通过解决实际问题,较为系统地经历数据收集与处理的全过程,体会统计思维与确定性思维的差异。

概率是研究随机现象规律的学科,它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法,同时为统计学的发展提供了理论基础。学生将结合具体实例,学习概率的某些基本性质和简单的概率模型,加深对随机现象的理解,能通过实验、计算器(机)模拟估计简单随机事件发生的概率。

 

算法初步

内容标准

学习要求

教学建议

算法概念

 

1.     了解算法的含义,体会算法思想与公理化思想的不同,知道用算法解决问题的优越性.

2.     通过对解决具体问题(如二元一次方程组求解等)的过程的分析,形成用自然语言表述的明确和有限的算法步骤.

3.     会对一类问题的一般形式(如解一般形式的二元一次方程组),分析解决此类问题的通用的明确和有限的步骤,分析各步骤的功能与逻辑顺序.

1.     在算法含义的教学中,重点在于通过分析解决具体问题的算法步骤来引导学生了解算法的一些基本特征:通用性、精确性、程序性、有限性、不唯一性等,不强调算法定义的严格性,不要求辨析一个操作序列是不是算法.

2.     在分析解决具体问题的算法步骤时,只要求对数学问题进行分析,不对非数学问题进行算法分析,不含把非数学问题转化为数学问题的过程.重点是引导学生针对具体问题设计正确可行的或较好的算法步骤,不必刻意追求最优.

3.     在算法思想的教学中,关键是引导学生认识到:算法思想是从问题解决出发给出程序性解法,而不是按照“定义——公理——定理——证明”的演绎系统进行的(此二者就是数学发展史中发挥巨大作用的机械化思想和公理化思想),用算法解决问题的优越性在于“把质的困难转化为量的复杂”,即将一个较为复杂的具体问题的解题思想转化为步骤明确、思维清晰、过程简洁的程序步骤;再通过编程由计算机执行算法,进一步解决“量的复杂”.

4.     算法教学不应局限于个别问题的算理(逻辑原理)与算则(程序规则),而应作为与公理化思想对等的数学思想方法来把握,重点培养学生从算法角度理解数学知识、解决数学问题的算法意识,并渗透到整个高中数学的学习中.

程序框图

1.     理解程序框图的基本图形的涵义.

2.     会读懂程序框图,会执行框图所表示的算法步骤,推测算法的执行结果.

3.     会设计程序框图来表达解决数学问题的算法步骤.

1.     通过模仿、操作和探索三个阶段来引导学生学习程序框图的设计.

2.     在教师示范、学生模仿的教学过程中,要引导学生体会自然语言在表达结构较为复杂的算法过程时的不便性,形成最近发展区,进而了解用程序框图表达算法可以使算法的结构更直观、条理更清晰、步骤更精确;示范中要注意基本图形的规范性.

3.     设计程序框图的基本程序是先用自然语言表达算法步骤,再“一一对应”地“翻译”成程序框图,而后推敲细节,将框图规范化、简化、细化、精确化;教师最好不要直接给出结果,而要充分示范过程,便于学生模仿操作.

4.     注意循序渐进,开始时的例子与习题尽量选择学生熟悉的问题,降低解决问题的难度,把重点放在对解决问题的过程的表达上.

5.     通过设置好的问题,适度引导学生探索用程序框图表达一些具有不同逻辑结构的算法过程,为基本逻辑结构的学习构造最近发展区.

算法的基本逻辑结构

1.     理解程序框图的三种基本逻辑结构:顺序、条件分支与循环.

2.     将三种基本逻辑结构运用到具体的算理分析中.

3.     体会蕴含于基本结构中的化归与转化思想.

1.     通过对程序框图实例的分析来归纳程序框图的三种基本逻辑结构,让学生在充分认识三种逻辑结构的直观特征的基础上进行分类,避免仅仅从理论上讲解逻辑结构定义.

2.     初学者容易混淆条件分支与循环,应引导学生分析它们的特征,认清它们的区别与联系.

3.     在循环结构的学习中,确定循环体、初始化变量、选择控制循环的条件等等是教学的难点,这一难点的突破除了采用必要的案例分析与模仿操作之外,还要强调程序框图的执行、检验、改进和总结.

4.     “直到型”和“当型”两种循环结构的区别与联系是教学的又一个难点,初学者容易混淆,应注意在充分分析实例的基础上归纳结构的特征,比较在具体问题中哪一个更简洁、方便.

5.     在初学阶段,教学应侧重引导学生理解程序框图的逻辑结构,而不是复杂情境下的应用,在范例与习题的选择上多用简单的典型结构,避免多重条件、多层循环等复杂结构.

6.     通过引导,使学生体会“各种具体的程序框图都可以分析、归纳为三种基本结构”,感悟其中的化归与转化思想.

基本算法语句

1.     了解设计算法语句的必要性、意义与价值.

2.     了解基本语句与算法的三种基本逻辑结构之间的对应关系.

3.     理解几种基本算法语句:输入语句、赋值语句、条件语句、循环语句;会将具体问题的程序框图转化为程序语句;会读懂用基本算法语句编写的简单程序,执行程序并求出程序的结果.

4.     会初步使用基本算法语句来设计解决具体问题的程序,准确地理解算法及其思想.

1.     应该强调开发算法语句是为了让计算机来执行算法,这要求将算法表达成精确的计算机程序;让计算机来执行算法任务,是算法思想的一个重要方面.

2.     通过讲解、示范与模拟运行,使学生理解几种算法语句的涵义;通过适当的练习,并与具体的程序框图相对照,使学生会按正确的格式书写算法语句,掌握语句的语法规则.

3.     程序设计的教学重点在于使学生掌握用算法解决数学问题的过程与方法,而不在于个别问题的程序;初学程序设计,应遵循写算法步骤、画程序框图、编写程序的步骤,这样有利于学生理解算法设计的“逐渐精确”的过程,掌握解决问题的过程与方法;应该避免对具体程序的机械记忆与简单拼凑.

4.     在程序的检验方面,可以选择一种计算机语言来进行基本算法语句的教学,并上机检验;学习算法语句的主要目的在于更准确地理解算法及其“程序化”、“精确化”思想,不强调学生上机操作和调试.

5.     对于有探究兴趣的学生,可以引导他们知道语句与算法的三种基本逻辑结构之间的对应关系是开发算法语言的一个基础,知道计算机语言的不同类别与伪代码的属性.

算法案例

1.     经历设计算法解决问题的全过程,体验算法在解决问题中的作用,体会算法的基本思想,提高逻辑思维能力,发展有条理地思考与数学表达能力.

2.     阅读中国古代数学中的一些算法案例;体会中国古代数学对世界数学发展的贡献.

1.     在用算法解决数学问题的三个步骤中,写算法步骤是基础,画程序框图是算理(逻辑原理)与算则(程序规则)的清晰化,编写程序是算法的进一步精确化,其中画程序框图是核心步骤,教学中应以此为重点,而不是以程序为重点,不强调对程序的记忆与灵活运用.

2.     注意用不同的逻辑结构实现同一个算理,或用不同的算理解决同一个问题,让学生通过对比加深对算理与算法的认识,为学生设计算法、体会算法思想提供机会.

3.     理解案例中新出现的数学知识,是理解案例的必要前提,但教学的重点在于对算法的学习,不强调对这些知识的记忆与灵活运用.

 

统计

内容标准

学习要求

教学建议

总体、个体、样本

1.     了解总体、个体、样本的概念.

2.     能从现实生活或其他学科中提出有一定价值的与总体、个体、样本相关的统计问题.

3.     体会用样本来估计总体的思想.

1.     注意与初中的衔接,在复习的基础上,引导学生结合实际情境提出有一定价值的统计问题.

2.     结合具体的实际问题情境,引导学生认识用样本估计总体的必要性,知道样本必须具有代表性,了解用样本估计总体的思想.

随机抽样

1.     理解随机抽样的必要性与重要性.

2.     会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本.

3.     了解分层抽样和系统抽样的方法.

4.     会根据具体的问题情境选择简单随机抽样、分层抽样或系统抽样.

5.     能通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据.

1.     结合具体的实际问题,用案例分析或问题解决的教学方式,让学生在参与解决统计问题的过程中学习抽样方法.

2.     简单随机抽样的具体方法,重点在于理解“逐个”、“无放回”、“等可能”地抽取;其中抽签法是最常用、最简单的方法,应让学生掌握;其它方法应作了解.

3.     各种不同抽样方法的适用情境是教学的重点,应尽可能创设具体的问题情境,让学生体会、理解不同方法的适用性.

4.     关于收集数据的具体方法,应让学生了解一些常用的方法,知道使用这些方法中应注意的问题,并进行初步的实践,获得基本的经验.

5.     建议通过对比随机样本与“方便样本”(根据使用者的方便而抽取的样本,这些样本没有代表性)的不同,引导学生学会初步辨别某些场合中“方便样本”的欺骗性.

样本分布

1.     体会分布的意义和作用.

2.     会列频率分布表,画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图,体会它们各自的特点.

3.     会根据具体的样本特征,选择合适的图形来表示样本分布.

1.     在复习初中学过的频数分布表、频数分布直方图、频数折线图的基础上,引导学生总结分布的意义与作用,并通过引导学生认识不同样本容量的频数分布之间不好比较等问题,引入频率分布.

2.     结合具体实例,引导学生体会不同的分布图、表的特点与适用情境.

3.     要鼓励学生用计算机来处理数据,生成样本分布的图、表.

样本数字特征

1.     理解样本平均数、众数、中位数、极差、标准差、方差等数字特征的意义.

2.     会从样本数据中提取数字特征,并作出合理的解释.

1.     样本的数字特征的涵义与提取的方法在初中已初步学过,教学中应结合案例引导学生比较它们所揭示的不同信息,明确标准差、方差等数字特征的意义,深入地体会它们所反映的样本特征.

2.     众数、平均数、中位数在反映样本中心位置方面各有各的特征,应强调它们不同的适用情况,尤其注意它们对端值的敏感性;此外还要引导学生鉴别使用者根据自己的利益选取三者之一来描述样本的中心位置的误导行为.

3.     应通过实例引导学生根据样本频率分布直方图估算众数、中位数、平均值的方法,培养学生的几何直观,提高读图能力.

用样本估计总体

1.     会用样本的频率分布估计总体分布,用样本数字特征估计总体的数据特征.

2.     初步体会样本频率分布与数字特征的随机性与规律性;体会统计思维与确定性思维的差异.

3.     会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想,解决一些简单的实际问题;能通过对数据的分析为合理的决策提供一些依据,认识统计的作用.

4.     形成对数据处理过程进行初步评价的意识.

1.     在总体分布的估计中,可以引入“总体密度曲线”,通过它与样本分布折线图的关系直观地说明用样本估计总体的依据,进一步说明样本频率分布与数据特征的随机性与规律性,体会统计思维与确定性思维的差异.

2.     强调围绕具体案例来学习,在解决统计问题的过程中学会相关技能.

3.     通过组织综合实践活动,让学生体验合理选取样本、分析数据、对总体分布与数字特征作出估计、给出决策建议的完整的过程,由此认识统计的作用,并通过交流和对比,体会样本的合理性、样本数字特征的适当性等,形成对数据处理过程进行初步评价的意识.

4.     重视引导学生认识“方便样本”与小样本在估计总体时的不可靠性,教会学生鉴别某些场合中“方便样本”与小样本的误导与欺骗.

5.     关注统计图表,引导学生从统计图表的数据中提取基本信息(样本分布、样本数字特征),来推断总体的情况.

变量的相关性

1.     会根据两个变量的数据作出散点图,并根据散点图直观认识变量间的相关关系.

2.     经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程.

3.     知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.

1.     引导学生认识到现实世界中存在不能用函数模型描述的变量关系,从而体会研究变量之间相关关系的重要性.

2.     要特别强调:在研究两个变量之间是否有相关关系时,必须从散点图入手;在掌握判断相关关系的同时,注意培养学生的几何直观.

3.     让学生经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程,体验探索最佳方法的创造性思维的过程;体会在具体场合中,某些方法可能更便于操作,更符合实际情况.

4.     要特别强调:在用最小二乘法求线性回归方程时,要先用散点图判断两个变量是否具有线性相关关系;并引导学生认识到:由于数据随机地分布在回归直线的两侧,根据直线方程作出的预报值只能是一个可能性最大的值;同时点明:由于样本的随机性,根据样本求得的线性回归方程也是随机的,帮助学生深刻体会相关关系与函数关系的不同.

5.     可以引导学生利用信息技术求回归方程;对于有兴趣的学生,教师可以鼓励他们尝试推导线性回归方程.

6.     应让学生了解经过变换求非线性回归方程的问题.

 

 

概率

内容

标准

学习要求

教学建议

随机事件的概率

1.     了解随机事件的概念,了解必然事件、不可能事件等相关概念.

2.     了解随机事件发生的不确定性与频率的稳定性.

3.     了解概率的意义及频率与概率的区别,知道用频率估计概率的理由.

1.     本部分内容是在初中学习的基础上进行更为系统和深入的学习,教学中务必考虑学生已有的学习基础,根据学生的最近发展区来设计教学;在实验数据的处理中,注意统计方法的应用.

2.     概率是不确定性与规律性的统一,这是学生理解的难点,要通过实验(注意:此时不要用计算机模拟!)使学生认识到大量实验中频率的随机性与稳定性,在学生理解频率的稳定值反映随机事件发生的可能性的基础上,再给出概率的定义、取值范围等等.

3.     引导学生理解概率的意义,还要结合具体案例的分析,使学生在解释正例、澄清反例的过程中达到学习的目的.

4.     通过对实验的观察,强调频率的随机性与近似性、概率的确定性,使学生明白:概率是频率的稳定值,频率是概率的近似值,因此可以用频率估计概率.

5.     引导学生体会概率可以为人们做决策提供依据,了解求随机事件概率的必要性.

两个互斥事件的概率加法公式

1.     了解互斥事件的意义.

2.     会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的的概率.

1.     通过实例,让学生在具体情境中了解互斥事件的意义.

2.     通过实例来归纳“两个互斥事件有一个发生”的概率加法公式,进而推广到多个互斥事件的情形.

古典概型

1.     理解古典概型及其计算公式.

2.     会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.

1.     引导学生通过实例来理解基本事件的意义,进而理解古典概型的特征.

2.     结合具体情境,让学生学会用列举法计算古典概型的概率.

3.     突出对基本事件的分析,强调对古典概型及其计算公式的理解,使学生初步学会把一些实际问题转化为古典概型,而不要把精力用在计数上.

4.     分析古典概型基本事件的关键在于它的等可能性,要引导学生重视等可能性的特征.

(整数值)随机数

1.     了解随机数的意义,会用计算机或计算器产生(整数值)随机数.

2.     能运用模拟方法(包括计算机或计算器产生随机数来进行模拟)估计概率,体会随机模拟中的统计思想.

1.     让学生通过计算机(或计算器)模拟来体会频率稳定于概率的客观规律.

2.     通过实例,让学生初步学会运用模拟方法估计概率,并体会其中用频率估计概率、用样本估计整体的统计思想.

3.     应充分利用统计软件来分析产生的随机数.

几何概型与均匀随机数

1.     体会几何概型的意义.

2.     了解几何概型的概率计算公式.

3.     了解均匀随机数的产生方法,会用计算机或计算器产生均匀随机数.

4.     会用均匀随机数来模拟几何概型,并用模拟结果来估算相关的未知量,进一步体会随机模拟中的统计思想:用频率估计概率、用样本估计整体.

1.     可以设计一些几何概型的例子来说明“概率为1的事件,不一定是必然事件,概率为0的事件,不一定是不可能事件”.

2.     用均匀随机数来模拟几何概型,是一个难点,建议结合具体实例引导学生进行相关的构造,关键是:点在一定平面或空间区域内随机出现,可看作点的坐标值在一定区间随机出现,由此可以用这一区间的均匀随机数作为点的坐标值,有必要时还要进行坐标变换.

3.     用模拟的结果来估算相关未知量,是一个重点内容,其方法可总结为:如果用模拟的结果作为几何概型的概率,那么其概率计算公式就可以作为方程,把公式中的未知量求出来;因为对随机数进行统计得到的是频率,它仅仅是对概率的估算,所以这里体现了用频率估计概率、用样本估计整体的统计思想.

4.     应充分利用统计软件来处理随机数,作为较高要求,还可以将古典概型中基本事件的总数推广到无穷多的情形化归为几何概型,但不应过度拔高要求,重点在培养学生的几何直观.

人类认识随机现象的过程

了解人类认识随机现象的过程.

通过阅读相关材料,了解人类认识随机现象的过程.

 

必修4

本模块包含三角函数、平面上的向量(简称平面向量)、三角恒等变换。

    三角函数是描述周期现象的重要数学模型,在数学和其他领域中具有重要的作用。学生将通过实例,学习三角函数及其基本性质,体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用。

    向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景。学生将了解向量丰富的实际背景,理解平面向量及其运算的意义,能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题,发展运算能力和解决实际问题的能力。

    三角恒等变换在数学中有一定的应用,同时有利于发展学生的推理能力和运算能力。学生将运用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式,由此出发导出其他的三角恒等变换公式,并能运用这些公式进行简单的恒等变换。

三角函数

内容

标准

学习要求

教学建议

任意角的概念

1.认识角扩充的必要性,了解任意角的概念,理解正角、负角、零角的概念。了解象限角与轴线角。

2.能用集合表示终边相同的角、象限角和轴线角。

1.通过具体事例让学生充分认识到角扩充的必要性,引入任意角的概念。

2.在直角坐标系中讨论角可以很好地表现角的“周而复始”的变化规律。因此在象限角的教学过程中,应强调角与平面直角坐标系的关系。

3.从具体问题入手,通过开展探究活动,让学生操作思考,经历由具体到一般的抽象过程,形成对“终边相同的角相差的整数倍”的直观感知,了解终边相同的角的关系,并能用集合表示。

4.可以运用信息技术动态演示角形成的过程,让学生观察角的变化与终边位置的关系,引导学生用数形结合思想认识问题,体会旋转量和旋转方向是刻画角的两个基本要素。

弧度制

1.了解弧度制,知道弧度也是角的一种度量单位。

2.能进行弧度与角度的互化。

 

1.引导学生认识弧长与其所对应的圆心角的关系,从中体会引入弧度制的合理性,建立角度与实数的对应关系,让学生知道弧度也是一种度量角的单位。

2.通过学生探究,概括出弧度与角度互化的关键:,推导出换算公式,引导学生写出等特殊角的弧度数。

3.对于弧长公式,可作为课堂教学范例,只要能简单应用即可。

任意角三角函数的定义

1.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。

2.在三角函数定义学习中体会数形结合思想。

 

1.根据学生的生活经验,创设丰富的情境,使学生感受周期现象的广泛存在,认识周期现象的变化规律,让学生体会三角函数是刻画周期现象的重要模型以及三角函数模型的意义。

2.以锐角三角函数为引子,用单位圆上点的坐标表示锐角三角函数,在此基础上定义任意角的三角函数,理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。应当尽量使用信息技术进行教学,展示三角函数定义逐步化归的过程。

3.引导学生利用单位圆上点的坐标或坐标的比值定义任意角三角函数,利用已学函数概念理解三角函数,把握其本质。可通过科学计算器求三角函数值,理解三角函数是一种特殊的函数。

4.引导学生由定义得到诱导公式一,利用其可把求任意角的三角函数转化为求0~2π内角的三角函数值,从代数角度揭示三角函数值的周期变化规律,渗透化归与转化思想。

5.通过任意角的三角函数线教学,渗透数形结合思想。

同角三角函数的基本关系式

1.理解同角三角函数的基本关系式:

2.会根据同角三角函数基本关系解决已知一个角的某个三角函数值求其余两个三角函数值(简称“知一求二”)及简单的三角恒等式证明问题。

1.以单位圆中的三角函数线作为认知基础,通过探究学习,引导学生在单位圆中构造出以任意角的正弦线、余弦线为直角边的直角三角形,启发学生思考其中的几何关系,从而得出同角三角函数基本关系:

2.对于“已知一个角的某个三角函数值求其余两个三角函数值”问题,应要求学生先判断角的象限,进而确定所求三角函数值的符号,再求值。

3.对于“恒等式证明”,只要让学生学会遵循“由繁到简”、“等价转化”的原则进行变形,能证明一些简单的三角恒等式即可。

诱导公式

1.能借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式(的正弦、余弦、正切)。

2.会利用上述公式解决相关问题。

3.在利用上述公式解决问题的过程体会化归与转化思想。

 

1.应引导学生复习已学知识,提出探究问题,借助单位圆的,通过图形观察,启发学生发现诱导公式(的正弦、余弦、正切),并明确它的作用之一是将任意角的三角函数化为锐角三角函数,强调化归与转化思想。

2.要善于利用单位圆的对称性,让学生自主发现分别关于原点或对称轴对称的角的三角函数值之间的关系,体现数形结合的数学思想方法。

3.通过将任意角的三角函数等价转化为0~角的三角函数的例题与练习,渗透化归与转化思想。

4. 可采用多种方式(“奇变偶不变,符号看象限”),引导学生认识、掌握诱导公式。

三角函数图象

1.能画出的图象。

1.通过学生亲自动手或教师做演示实验方式完成单摆做简谐振动的实验,使学生对三角函数图象产生直观认识,引出正弦函数、余弦函数的图象。

2.应启发学生从正弦线的变化规律,思考如何才能更快地画正弦函数曲线)的图象,注意其自变量一般用弧度制度量。

3.“五点法”是画正弦函数、余弦函数简图的基本方法。在教学中应引导学生观察图象,得出五个关键点。

三角函数性质

1.了解三角函数的周期性、奇偶性。

2.能借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π],正切函数在()上的性质(如单调性、最大和最小值等)。

1.通过观察正弦线的变化规律,利用正弦函数图象体现这种规律,引导学生给出周期性的概念,从数、形两个方面研究正弦函数具有的周期性变化规律。

2.应特别强调:三角函数的周期不唯一;三角函数的周期没有特别说明时,一般指最小正周期。

3.正弦函数、余弦函数的奇偶性由图象观察或由诱导公式进行证明都较容易,可交给学生自主完成。

4.教学时可先选择一个恰当区间,启发学生描述正弦函数在这个区间上的单调性。通过类比也可让学生自己描述余弦函数的单调性。正弦函数、余弦函数的单调性只要由图象观察,不要求证明。

5.正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可以作为单调性的一个结论,由于难度不大,可以让学生自行研究。

6.对于正切函数,可引导学生类比正、余弦函数图象与性质来研究。

y=Asin(ωx+j)图象与性质

1.了解y=Asin(ωx+j)的实际意义。

2.能借助计算器或计算机画出y=Asin(ωx+j)的图象,观察参数A、ω、j对函数图象变化的影响。

1.引导学生用“五点法”作图或借助计算器(机)等信息技术工具画出y=Asin(ωx+j)的图象。通过参数j、ω、A参数赋值,从具体到抽象,分别考察参数j、ω、A对函数图象的影响,研究函数y=sin x与y=Asin(ωx+j)的图象间的关系。

2.通过图象引导学生认识y=Asin(wx+j)图象的五个关键点,由此得出“五点法”画y=Asin(wx+j)图象的方法。作函数y=Asin(ωx+j)简图方法本质是三种变换:周期变换、振幅变换、相位变换,鼓励学生研究不同变换途径,要求能用准确数学语言描述不同的变换过程,培养学生从不同角度分析问题解决问题的能力。

3.应鼓励学生使用计算机(器)分析 y=Asin(ωx+j)中参数变化对函数的影响。

三角函数应用

1.会用三角函数解决一些简单实际问题。

2.知道三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。

1.引导学生从实际问题中发现周期变化规律,分析问题中数量关系,将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型。

2. 重视学科渗透,运用三角函数分析理解其他学科的相关内容,开展数学探究或数学建模活动, 体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。

 

 

 

平面向量

内容标准

学习要求

教学建议

 

平面向量的实际背景及基本概念

1.了解向量的实际背景。

2.理解向量、零向量、单位向量、相等向量、向量的模的概念。

3.理解向量的几何表示,会用字母表示向量。

4.了解平行向量的概念及表示法,了解相反向量、共线向量的概念。

5.知道两个向量不可比较大小。

1.从向量的物理背景和几何背景入手,通过力和力的分析等实例,建立学生熟悉的矢量等概念与向量的联系,引出向量概念。

2.将向量与数量概念比较,使学生更深刻把握向量的概念。

3.借助信息技术,通过向量的平移来说明向量相等与起点无关。

4.通过与平面几何中的直线、线段的平行概念的比较,使学生知道两个共线向量不一定要在一条直线上,但两个向量平行就是共线向量。特别地,零向量与任意向量平行。

 

 

向量的线性运算

1.掌握向量加、减法的定义,并理解其几何意义。

2.掌握向量加法的交换律与结合律,并会用它们进行向量运算。

3.掌握实数与向量积的定义及向量数乘的运算,并理解其几何意义。

4.理解两个向量共线的充要条件。

5.了解向量的线性运算性质及其几何意义。

6.会用向量法解决简单的几何问题。

1.通过类比数的加法,以物理模型为背景引入,让学生形成对向量加法的直观感知。

2.利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算 教学时,要注意它们对应的物理模型,在本质上二者是一致的。

3.可以借助信息技术来探究不等式,通过改变的位置,动态演示的关系,加强对向量加、减法运算几何意义的认识和理解。

4.引导学生通过类比数的加法交换律和结合律,结合画图验证理解向量加法的交换律和结合律。

5. 应要求学生了解向量线性运算性质及其几何意义。对于向量运算的交换律、数乘的结合律和分配律,只要求会用即可,对于基础较好的学生亦可介绍证明方法。

6.应要求学生熟练掌握向量线性运算律,并会说出几何意义。

平面向量的基本定理及坐标表示

1.了解平面向量的基本定理及其意义,会用平面向量基本定理解决简单问题。

2.理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。

3.掌握平面向量的坐标运算,会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。

4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件,会依据向量的坐标,判断向量是否共线。

1.通过开展探究活动,引导学生自主得出平面向量基本定理。平面向量基本定理是平面向量的核心内容,它为向量的坐标表示奠定基础,该定理不要求严格的证明。

2. 让学生通过作图知道平面内不共线的任意两个向量e1e2都可以作为平面内所有向量的基底,体会基底的不唯一性。

3.通过力的分解问题,使学生感受向量分解与现实的紧密联系,明确向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解,也是平面向量基本定理的一个应用。

4.在推导向量的坐标表示教学中,通过类比平面直角坐标系中点用有序实数对表示,联系平面向量基本定理和向量的正交分解,体会每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示。

5.要求学生掌握利用向量推导线段的定比分点坐标公式的方法,但公式不要求记忆。

平面向量的数量积

1.理解平面向量数量积及其几何意义。

2.了解一个向量在另一个向量上投影的概念,体会平面向量的数量积与向量投影的关系。

3.掌握平面向量数量积的性质、运算律和几何意义。

4.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的坐标运算。

5.了解两个向量的夹角概念,能运用用数量积表示两个向量的夹角。

6.会用向量数量积来处理有关长度、角度和垂直问题。

1.以物体受力做功为背景,引出向量数量积的概念,让学生认识到它是一种新的向量运算,有明显的物理意义、几何意义。

2.从数与形两个方面引导学生对向量数量积定义进行探究,将其与数的乘法比较,通过作图分析,使学生明确:当时,由不能推出一定是零向量;不一定能推出;对于向量未必成立,强调与数的乘法结合律的区别。

3.引导学生探究向量数量积的运算律,让学生独立完成运算律的证明,然后教师作适当点评。

4.向量的非正交分解、向量投影的概念只要求了解。

5.在向量的数量积、向量的模、向量的夹角、两个向量垂直的充要条件的坐标表示公式教学中,可让学生自主探究,体验公式发生、发展的全过程,提高对公式的理解。

6. 平面向量数量积的应用应以解决涉及长度、角度和垂直等数学问题为主。

向量的应用

1.了解向量知识在实际生活中有着广泛的应用。

2.能运用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题和其他一些实际问题。

3.在应用向量解决问题过程中,体会普遍联系的辩证唯物主义观点。

1. 经历解决某些简单的平面几何问题、力学问题和其他一些实际问题的过程,体会平面向量突出的工具作用。

2.要渗透数形结合思想,利用向量工具将几何关系代数化,培养学生分析问题解决问题能力,提高学生数学应用意识。

3.通过向量在简单平面几何问题中的应用,让学生从中总结归纳出利用向量解决几何问题的方法与步骤,体会向量是沟通代数、几何与三角的桥梁。

 4.通过向量在物理中的应用,让学生从中总结归纳出利用向量解决物理问题的步骤:

[物理问题]→[向量问题]→[向量运算]→[物理现象]。

 

三角恒等变换

内容标准

学习要求

教学建议

和与差的三角函数公式

1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。

2.能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,并导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系;

3.能利用这些公式进行和、差、倍角的求值和简单的化简。

 

 

1. 设计教学情境,引导学生从数形结合的角度出发,利用单位圆中的三角函数线、三角形中的边角关系等建立关于正弦、余弦的等量关系, 运用平面向量的数量积推导两角差的余弦公式,体会推导过程中蕴含的数学思想方法,进而突破教学难点。

2. 在两角差的余弦公式推导的教学中应合理引导学生联想向量知识,体会向量方法的应用;充分利用单位圆,分析其中有关几何元素(角的终边及其夹角)的关系;要关注公式推导过程中体现的分类讨论、数形结合思想以及向量方法的应用。

3.通过和角、差角、倍角的三角函数之间存在紧密的内在联系,由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,展示数学发现的过程,让学生从中总结归纳出公式推导的过程:

,建立关于两角的三角函数公式体系。在教学中,老师可以根据学生情况,对公式的推导顺序作出自己的选择。

简单的三角恒等变换

1.能利用和、差、倍角的公式进行简单的恒等变换,并证明三角恒等式。

2.能利用三角恒等变换研究三角函数的性质。

3.了解三角变换中蕴藏的数学思想和方法。

4.能把一些实际问题化为三角问题,通过三角变换解决。

1.引导学生以已有的公式为依据,以推导积化和差、和差化积、半角公式为基本训练,体会三角变换特点,提高推理论证和运算求解能力。教学时不要随意补充公式(如半角公式、积化和差与和差化积公式)。

2.要注意恰当地提出问题,加强对三角函数式特征的观察,使学生明确三角恒等变换包括结构形式、角、不同三角函数名之间的变换,引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题。

3.要切实提高学生“活”用公式的能力,加强逆用及变用公式的训练。要求学生在解题中不断总结规律,归纳三角恒等变形中常用的变换方法,如函数名的变换、角的变换、升降次的变换、“1”的代换等,注意体会三角恒等变换方法的特殊性。

4.把一些实际问题化为三角问题,通过三角变换解决,培养学生应用意识,激发学生学习兴趣。

必修5

本模块包含解三角形、数列、不等式。

    学生将在已有知识的基础上,通过对任意三角形边角关系的探究,发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系,并认识到运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

    数列作为一种特殊的函数,是反映自然规律的基本数学模型。学生将通过对日常生活中大量实际问题的分析,建立等差数列和等比数列这两种数列模型,探索并掌握它们的一些基本数量关系,感受这两种数列模型的广泛应用,并利用它们解决一些实际问题。

    不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系,是数学研究的重要内容。学生将通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值;掌握求解一元二次不等式的基本方法,并能解决一些实际问题;能用二元一次不等式组表示平面区域,并尝试解决一些简单的二元线性规划问题;认识基本不等式及其简单应用;体会不等式、方程及函数之间的联系。

 

解三角形

内容标准

学习要求

教学建议

正弦定理

1.  探索并发现正弦定理,在确定三角形边角的过程中,学习观察、归纳、猜想、探究的思维方法,提高思维能力.

2.  掌握正弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.

3.  运用正弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的简单的实际问题,提高对数学学习的兴趣,提高由实际问题抽象数学问题并加以解决的能力.

1.  在义务教育阶段三角形学习的基础上,通过对任意三角形边角关系的探究,从特殊到一般,引导学生探索并发现正弦定理,可以采用“情境引入——提出问题——研究特例——归纳猜想——实验探究——理论探究——解决问题”的探究教学过程组织教学.

2.  合理引导学生利用向量的方法或几何推证等方法证明正弦定理.

3.  通过适量的练习,训练在给定“边、角、边”或“角、边、角”的条件下解三角形,达到掌握正弦定理的要求,并解决一些简单的三角形度量问题.

4.  通过给定“边、边、角”的不同条件,引导学生探索解三角形时解的个数与已知条件有关,需要具体情况具体分析,防止学生因认识不足、理解不透彻而造成的解答不全面.

5.  解三角形的教学要重视正弦定理在探索三角形边角关系中的作用,引导学生认识它是解决测量问题的一种方法,不必在恒等变形上进行过于繁琐的训练.

余弦定理

1.  探索并发现余弦定理,在确定三角形边角的过程中,学习观察、归纳、猜想、探究的思维方法,提高思维能力.

2.  掌握余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.

3.  运用余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的简单的实际问题,提高数学学习的兴趣,提高实际问题抽象数学问题并加以解决的能力.

1.  在已有学习的基础上,通过对任意三角形边角关系的探究,从特殊到一般,引导学生探索并发现余弦定理,可以采用“情境引入——提出问题——研究特例——归纳猜想——实验探究——理论探究——解决问题”的探究教学过程组织教学.

2.  合理引导学生利用向量的方法证明余弦定理,并指出勾股定理是余弦定理的特例,余弦定理是勾股定理的推广.

3.  通过适量的练习,训练给定“边、角、边”求三角形的第三边及已知三边求角的方法,达到掌握余弦定理的要求,并解决一些简单的三角形度量问题.

4.  引导学生认识到,余弦定理及其推论把用“边、角、边”和“边、边、边”判定三角形全等的定理从数量化的角度进行了刻画,使其变成了可以计算的公式.

5.  解三角形的教学同样要重视余弦定理在探索三角形边角关系中的作用,引导学生认识它们是解决测量问题的一种方法,不必在恒等变形上进行过于繁琐的训练.

正弦定理与余弦定理的应用

1.  能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题,体会正弦定理、余弦定理在解三角形中的作用.

2.  经历由实际问题抽象数学问题并加以解决的过程,提高数学地提出、分析和解决实际问题的能力,数学表达和交流的能力.

1.  通过实例引导学生运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题,这是教学难点,应培养学生从实际问题转化为数学问题的能力,并加强解题中近似计算的训练.

2.  注意强调将解三角形作为几何度量问题来处理,突出几何对象意识、几何图形及相关几何量的作用,在应用正弦定理与余弦定理解决实际测量用问题时,注意培养学生的创新意识和实践能力,应鼓励学生用不同方法解决问题,而不是硬套公式.

3.  引导学生认识公式的作用,指导学生选择正确的几何对象和恰当的公式解题,虽然有些问题可以用多种方法解决,但选择恰当的公式可以简化解题过程.

 

数列

内容标准

学习要求

教学建议

数列的概念

1.  了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).

2.  了解递推公式也是表示数列的一种方法.

3.  了解数列是一种特殊函数,体会数列中的函数思想.

1.  通过日常生活中的实例,引出数列及相关概念,知道通项公式对于数列的重要性.

2.  通过简单的数列模型,指导学生用通项公式表示,并渗透归纳、猜想的思想方法.

3.  用具体的实例指导学生认识用递推公式表示数列的方法,并能在给出首项和递推关系的前提下,写出数列的若干项.

4.  与函数的表示方法类比,指导学生用列表、图象的方法表示数列,并引导学生通过函数的观点了解数列的概念,了解数列是一种特殊函数.

等差数列

1.  理解等差数列的概念.

2.  探索并掌握等差数列的通项公式与前项和的公式.

3.  能在具体的问题情境中,发现数列的项的等差关系,并能用有关知识解决相关问题.

4.  体会等差数列与一次函数的关系.

5.  掌握迭加法、倒序相加法,在解决有关问题中体会基本量的思想.

1.  通过实例认识数列的项的等差关系,从项与项的关系的特点上理解等差数列的概念,认识等差数列的本质是等差,理解“等差”是等差数列的概念、研究等差数列性质的基础,也是思考等差数列问题的基本出发点,教学中,引导学生在思考问题时,经常回到这个出发点上来.

2.  从具体的等差数列的实例出发,归纳、总结一般等差数列的特征,引导学生逐步体会得到等差数列的通项公式的迭加方法,要求学生在通项的基础上认识等差数列的特征,通过实例认识等差中项,通过训练,探索并发现等差数列中的一些性质,教学中强调从特殊到一般的思维过程.

3.  引导学生逐步体会得到等差数列的前项和的公式的倒序相加方法,指导学生得到两个求和计算公式,并用较多的实例让学生掌握等差数列的前项和的公式.

4.  教学中,应保证基本技能的训练,引导学生通过必要的练习,掌握数列中各量之间的基本关系,但训练要控制难度和复杂程度.特别要引导学生从变量的角度认识等差数列的五个参量,深刻体会可以根据五个参量中的任意三个求出其余两个的“知三求二”的方程思想,知道“知三求二”的问题一般都可以归结为解二元一次方程组;并通过实例强化认识首项和公差在解决等差数列问题中的重要性,体会解决等差数列问题可以化归到首项和公差的基本量思想.

5.  通过具体实例(如教育贷款、人口增长等),引导学生从实际问题中发现等差数列的模型,并通过模型解决相关问题,在此基础上,使学生理解等差数列模型的作用,培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力.

6.  通过正整数的一次函数或常值函数理解等差数列的通项,通过正整数的缺常数项的二次函数理解等差数列的前项和,强调数列作为一种特殊的函数,是重要的数学模型,与函数有密切的关系.

7.  通过等差数列的研究,感悟数列是如何刻画现实世界中一类具有递推规律事物的,掌握通项公式与前n项和的关系,并能运用数列解决简单的实际问题。

等比数列

1.  理解等比数列的概念.

2.  探索并掌握等比数列的通项公式与前项和的公式.

3.  能在具体的问题情境中,发现数列的项的等比关系,并能用有关知识解决相关问题.

4.  体会等比数列与指数函数的关系.

5.  掌握迭乘法、错位相减法,在解决有关问题中体会基本量的思想.

1.  通过实例认识数列的项的等比关系,从项的特点上理解等比数列的概念,并与等差数列的概念进行比较,认识等比数列的本质是等比,理解“等比”是等比数列的概念、研究等比数列的性质的基础,也是思考等比数列问题的基本出发点,教学中,引导学生在思考问题时,经常回到这个出发点上来.

2.  从具体的等比数列的实例出发,归纳、总结一般等比数列的特征,引导学生逐步体会得到等比数列的通项公式的迭乘方法,要求学生在通项的基础上认识等比数列的特征,通过实例认识等比中项,通过训练,探索并发现等比数列中的一些性质,教学中强调从特殊到一般的思维过程,并引导学生与等差数列作对比,渗透类比的思想方法.

3.  引导学生逐步体会得到等比数列的前项和的公式的错位相减方法,指导学生得到两个求和计算公式,并用较多的实例让学生掌握等比数列的前项和的公式.

4.  教学中,应保证基本技能的训练,引导学生通过必要的练习,掌握数列中各量之间的基本关系,但训练要控制难度和复杂程度.特别引导学生从变量的角度认识等比数列的五个参量,深刻体会可以根据五个参量中的任意三个求出其余两个的“知三求二”的方程思想,对于等比数列,要控制“知三求二”的问题难度;并通过实例强化认识首项和公比在解决等比数列问题中的重要性,体会解决等比数列问题可以化归到首项和公比的基本量思想.

5.  通过具体实例(如购房贷款、放射性物质的衰变等),引导学生从实际问题中发现等比数列的模型,并通过模型解决相关问题,在此基础上,使学生理解等比数列模型的作用,培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力.

6.  通过正整数的指数函数模型理解等比数列的通项与等比数列的前项和,强调数列作为一种特殊的函数,是重要的数学模型,与函数有密切的关系.

7.  通过等比数列的研究,感悟数列是如何刻画现实世界中一类具有递推规律事物的,掌握通项公式与前n项和的关系,并能运用数列解决简单的实际问题。

 

不等式

内容标准

学习要求

教学建议

不等关系与不等式

1.  感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系.

2.  了解不等式(组)的实际背景,体会不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值.

3.  感悟生活中蕴藏着的不等与相等的关系,感知不等与相等的辩证统一的关系.

1.  通过具体情境,感受现实世界和日常生活中存在着的大量的不等关系,并能用正确的不等关系式表示.教学中要明确,建立不等观念、处理不等关系与处理等量问题是同样重要的.

2.  从实数的基本性质出发,引出不等式的基本性质,并用范例指导学生学习简单的证明方法,教学中仅要求学生会简单地说理.

3.  利用具有现实背景的生产、生活实例,引导学生用不等式或不等式组表示其中的不等关系,强调不等式的实际应用,注重从实际问题中抽象出不等式模型的训练.

一元二次不等式

1.  经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程.

2.  通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.体会不等式、方程及函数之间的联系与转化的辩证思想.

3.  掌握求解一元二次不等式的基本方法,学会从函数的观点了解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,尝试设计求解的程序框图.

4.  利用一元二次不等式解决一些实际问题.

1.  通过实例,让学生经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程,使学生了解一元二次不等式的实际背景.

2.  用数形结合的思想,指导学生认识一元二次不等式的解集、一元二次方程的根及函数的零点之间的关系;并用实例加强训练求解一元二次不等式的基本技能,尤其是对应的一元二次方程有无实根的情况对不等式解集的影响,指导学生既可以求出相应方程的根,然后根据相应函数的图象求出不等式的解集,也可以运用代数的方法求解.鼓励学生从通性通法的角度设计求解一元二次不等式的程序框图,融入算法思想.

3.  这部分内容的教学重点是一元二次不等式的解法,教学中要注意控制问题的难度,尤其是“区间根的问题”、“二次函数在区间上的最值问题”、“二次不等式在区间上恒成立的问题”等,应当适度控制,因为这类问题常常涉及含参数的问题,需要分类讨论,分类与整合思想的掌握需要一个循序渐进的过程.

二元一次不等式组与平面区域

1.  从实际情境中抽象出二元一次不等式组.

2.  了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组,能用二元一次不等式组表示平面区域.

3.  提高数学的应用意识,体会数学在实际问题中的广泛应用,提高学习数学的兴趣.

1.  通过实例,让学生经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组模型的过程,使学生了解二元一次不等式的实际背景.

2.  不等式有丰富的实际背景,是刻画区域的重要工具.刻画区域是解决线性规划问题的一个基本步骤,教学中可以从实际问题引入用平面区域表示二元一次不等式组的方法.对于具体的平面区域也应学会用二元一次不等式组表示的方法,教学中,始终渗透“直线定界,特殊点定域”的方法,帮助学生用集合的观点分析、用集合的语言描述组合图形的问题,使问题更清晰和准确.

3.  教学中要特别提醒学生注意(或)表示区域不包括边界,而(或)则包括边界,逐步培养学生数形结合思想、化归与转化思想.

简单线性规划问题

1.  从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题.

2.  尝试解决一些简单的二元线性规划问题.

3.  通过简单线性规划问题的解决,了解优化思想.

1.  启发学生从一些实际情境中抽象出简单的二元线性规划问题,根据思维发展的规律,可按照“观察——尝试模仿——再实践”的认知过程,深化对简单线性规划问题的认识,循序渐进地理解掌握简单线性规划问题的解决方法和相关概念,教学中可以借助计算机等媒体工具进行演示,辅助教学.

2.  线性规划是解决最优化问题的具体模型之一,因此教学中应强调不等式组的几何意义、现实背景和实际应用.对于线性规划问题,还可以指导学生从函数的观点看,就是确定目标函数在可行域(由约束条件确定的定义域)内的最值问题.

3.  对于解决线性规划问题,应强调通性通法,指导学生将其归结为算法解决,融入算法思想.

4.  教学中,应引导学生体会线性规划的基本思想,借助几何直观解决一些简单的问题.

5.  线性规划是一个应用性非常强的工具,应通过解决线性规划的实际问题培养学生最优化的思想.

基本不等式

1.  探索并了解基本不等式: )的证明过程.

2.  会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.

1.  通过代数的方法指导学生探索并了解基本不等式的来源与证明过程,并利用几何图形对基本不等式作出几何解释,用于加深基本不等式形式上的记忆.

2.  通过实例指导学生利用基本不等式求解某些最值问题(特别是非一元二次函数的最值问题),在求解中展示这种方法的简捷性.

3.  应用基本不等式求最值时,需要特别提醒学生讨论等号成立的条件.

4.  只要求了解基本不等式的证明,对于 “不等式的性质及其证明”以及“用分析法、综合法、比较法证明不等式”等内容暂不作要求.

选修1-1

本模块包括常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用.

    在常用逻辑用语中,学生将在义务教育阶段的基础上,学习常用逻辑用语,体会逻辑用语在表述和论证中的作用,利用这些逻辑用语准确地表达数学内容,更好地进行交流.

    在圆锥曲线与方程中,学生将学习圆锥曲线与方程,了解圆锥曲线与二次方程的关系,掌握圆锥曲线的基本几何性质,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用,进一步体会数形结合的思想.

在导数及其应用中,学生将通过大量实例,经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程,理解导数的含义,体会导数的思想及其内涵;应用导数探索函数的单调性、极值等性质及其在实际中的应用,感受导数在解决数学问题和实际问题中的作用,体会微积分的产生对人类文化发展的价值。

 

常用逻辑用语

内容标准

学习要求

教学建议

命 题

及其关系

1.了解命题的概念,会判断一些简单命题的真假.

2.了解命题的逆命题、否命题、逆否命题的有关概念,会写出易于改写成“若p,则q”形式的命题的逆命题、否命题、逆否命题.

3.会分析四种命题的相互关系.

1.以义务教育阶段学习的命题为出发点,引导学生在回顾的基础上,进一步了解命题的概念,会判断命题的真假.

2.通过生活和数学中的丰富实例,说明四种命题形式的客观存在,使学生进一步认识到研究四种命题的必要性,体会逻辑用语在表述和论证中的作用.

3.通过适量的实例阐述命题的概念,所举的实例应能清晰地分辨出组成这个命题的条件和结论.

4.对“命题的逆命题、否命题、与逆否命题”只要求作一般性的了解,应以学生熟悉的、与数学有关的命题为重点载体进行训练,引导学生写出它的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假,而不应进行形式上的加深讨论.教学中仅要求会写出易于改写成“若p,则q”形式的命题的四种命题,对于不是“若p,则q”形式的命题,没有必要讨论它的四种命题.

5.通过实例的分析,总结出四种命题之间的基本关系图,帮助学生弄清原命题与逆否命题、逆命题与否命题是同真假的,让学生体验规律的探索和发现过程.

充分条件与必要条件

1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.

2.会结合具体命题,分析四种命题的相互关系;会利用互为逆否命题的两个命题之间的等价关系来判断命题的真假及证明简单的数学问题.

3.通过“充要条件”的学习进一步提高辨证思维的能力.

1.在“若…则…”形式的命题为真命题的基础上引入充分条件、必要条件的概念.以学生熟知的具体实例为载体,分析条件之间的关系,逐步加深对必要条件、充分条件与充要条件的意义的理解.教学时,可以运用Venn图来直观描述充分条件、必要条件的关系,帮助学生对概念的理解.

2.对充分条件、必要条件与充要条件知识,只要求掌握 “若p则q”形式的命题.这里的p与q都是不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的,不要随意拔高要求.

3.应通过实例让学生明白寻求充分条件、必要条件和充要条件来解决问题是一种常用的方法,理解充分条件、必要条件和充要条件在思考和解决数学问题中的作用.

4.通过实例的教学,引导学生学会利用“互为逆否命题的两个命题之间的等价关系”来判断具体命题的真假并证明简单的数学问题.

简单的逻辑联结词

1.通过数学实例,了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.

2.能正确利用“或”、“且”、“非”表述相关的数学命题.

3.能准确区分命题的否定与否命题.

1.在教学中可以用逻辑联结词“且”与“或”连结一些条件,形成新的条件,构造新命题,但对简单命题,复合命题的概念不要涉及.

2.教学中应引导学生利用逻辑联结词“或”、“且”、“非”构造新命题,通过分析所构造的新命题的真假,理解“或”、“且”、“非”的含义.可以适当联系集合与不等式的相关知识进行讲授,让学生在探究新旧知识关系的同时,提升对数学知识理解.

3.任何一个命题都有否定形式,但命题的否定与否命题是不同的.

全称量词与存在量词

1.理解全称量词与存在量词的意义.

2.能正确利用全称量词与存在量词叙述数学问题.

3.体会量词在数学与生活中的作用.

1.应结合具体的命题来理解全称量词与存在量词的意义.对于量词,重在理解它们的含义,而不要追求它们形式化的定义.要注意全称量词与存在量词在日常生活和数学中的各种表达形式:如,全称量词的表达形式通常有:“所有”、“每一个”、“一切”、“任何一个”、“任意一个”等,存在量词的表达形式一般有“有些”、“至少有一个”、“存在”、“有一个”、“至少”等.

2.对于一个命题,冠以不同的量词,得到的命题的属性也不同:冠以全称量词得到的是全称命题;冠以存在量词得到的是特称命题.教学中应引导学生正确区分这两种命题.对于含有两个量词的命题,不要求学生掌握.

3.通过生活和数学中丰富的实例,让学生体会量词在数学与生活中的作用.

含有一个量词的命题的否定

1.通过生活和数学中的实例,理解含有一个量词的命题的否定的意义.

2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

1.利用日常用语和学生熟悉的数学命题介绍对含有一个量词的命题进行否定的意义,进一步展现全称量词和存在量词在描述问题中的作用.

2.教学过程中,要在实践的基础上,教会学生形式化地把握这种否定的特征,加强学生对含有一个量词的命题的否定的理解.

3.对于命题的否定,只要求学生能够对含有一个量词的命题进行否定.

 

圆锥曲线

内容标准

学习要求

教学建议

椭 圆

1.经历从具体情景中抽象出椭圆的过程,掌握椭圆的定义.

2.会推导椭圆的标准方程并能够利用给定条件求椭圆的标准方程.

3.会利用椭圆的标准方程及几何图形研究椭圆的简单几何性质,能掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).

4.经历由轨迹特征抽象成数量关系、形成方程的探究过程,在实施数形转化解决问题的过程中,培养自身的抽象概括能力和逻辑思维能力,养成善于独立思考的良好品质.

1. 通过生活实例或利用多媒体演示卫星的运行轨迹、平面截圆锥得到圆锥曲线,让学生经历从具体情境中抽象出椭圆的过程,通过操作、观察、探究揭示椭圆的几何特征,理解椭圆的定义.

2.推导椭圆标准方程的过程,也是求曲线方程的过程,要引导学生模仿求直线与圆的方程时所采用的解题步骤,推导椭圆标准方程.在推导过程中,方程为两个根式的和等于一个非零常数,要注意说明这类方程化简的必要性和方法,培养学生的运算求解能力,体会数学美在解决问题中的价值功能.

3.对于给定某些条件的椭圆,可引导学生利用待定系数法根据条件求出 a、b的值,确定相应的标准方程.

4.通过对实例的教学,使学生学会从椭圆的光学性质、各行星的运行轨道等具体情景,抽象出椭圆的几何性质,感受圆锥曲线在揭示客观世界的规律和解决问题中的作用.

5.利用椭圆标准方程研究其几何性质时应关注以下两点:一是掌握椭圆的基本性质以及方程中不变量的几何意义和相互关系,二是希望通过对方程的讨论,领悟解析几何是如何用代数方法来研究曲线性质的.由于是第一次系统地用代数的方法研究曲线的性质,所以教学进度应适当放慢.

双曲线

1.了解双曲线的定义、几何图形.

2.会推导双曲线的标准方程

3.知道双曲线的简单的几何性质(范围、对称轴、顶点、离心率、渐近线).

1.让学生在学习椭圆的基础上,通过类比、直观操作、观察模型等了解双曲线的定义.

2.由于学生已有了求椭圆标准方程的经验,在推导双曲线的标准方程时,应尽可能让他们自已推导.

3.类比椭圆的几何性质研究双曲线的几何性质,引导学生在观察双曲线图形的同时,结合方程探究双曲线的简单几何性质.对于双曲线所特有的渐近线,可以利用多媒体演示,直观反映其“渐近”的特征.

4.通过对具体实例的分析,帮助学生领会运用双曲线的知识解决实际问题的实质.

抛物线

1.了解抛物线的定义、几何图形.

2.了解抛物线标准方程及其推导过程,能够利用给定条件求抛物线的标准方程.

3. 利用抛物线的标准方程及几何图形研究抛物线的简单几何性质,知道抛物线的简单几何性质.

1.通过丰富的实例(投掷铅球的运行轨迹、探照灯的镜面),使学生了解抛物线的背景与应用;借助计算机,向学生展示用平面截圆锥得到抛物线的过程,使学生加深对抛物线定义的了解.

2.教师适时点拨引导学生推导抛物线标准方程.在已知条件下求抛物线的方程时,要考虑到抛物线标准方程的四种形式,培养学生思维的严谨性.

3.通过对具体的生活实例的教学,使学生感受到抛物线在解决实际问题中的作用.

圆锥曲线的简单

应用

1.掌握直线与圆锥曲线的位置关系.

2.能解决圆锥曲线在实际中的一些简单应用,进一步提升“应用数学”的意识,提高解决问题的能力.

3.会运用数形结合的思想方法解题.

1. 通过圆锥曲线与方程的学习,让学生理解曲线的交点坐标就是曲线方程的公共实数解,可以通过求解曲线方程组得到两曲线的交点.

2.由实例的教学,帮助学生学会应用方程组知识研究直线与圆锥曲线的位置关系,并解决相关的简单问题.

3.通过生活中丰富的实例(如投掷铅球的运行轨迹,卫星的运行轨迹等),引导学生利用圆锥曲线相关性质解决生活中实际问题,培养学生抽象概括能力和推理论证能力,形成善于独立思考的良好品质.

导数及其应用

内容

标准

学习要求

教学建议

导数概念及其

几何意义

1.了解平均变化率与瞬时变化率的概念,了解导数概念的实际背景,了解导数概念,体会导数的思想及其内涵.

2.理解导数的几何意义,体验建立数学模型刻画客观世界的“数学化”过程.

3.通过导数概念的学习,体会数形结合的思想方法,领会“量变到质变”的哲学原理.

1.教学中应重视产生导数概念的实际背景,通过具体应用实例(如平均速度、膨胀率、效率、增长率等),抽象出平均变化率的概念.

2.借助图形直观,通过割线斜率向切线斜率逼近过程的研究,通过物体运动的平均速度向瞬时速度的过渡,抽象出瞬时变化率的概念,了解导数的几何意义和物理背景,让学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程,进而领会运动、变化的数学思想,体会导数的内涵,感受“导数是对事物瞬时变化率的描述”.

3.利用教具或多媒体动画演示,加深对导数概念及其几何意义的理解和掌握.

4.要注重极限思想的运用以及导数概念产生的背景,用形象直观的“逼近”方法定义导数.对导数的概念,仅要求从感性认识的角度了解,其形式化的表述要避开,对极限的定义不宜补充,应让学生有更充裕的时间学习导数的思想方法,体会及其在现实生活中的应用.

基本初等函数的

导数公式

1.能根据导数定义求函数y=c、y=x、y=x2、y=的导数.

2.能利用基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.

3.会用导数公式求瞬时变化率,进而强化导数概念以及对导数几何意义的理解.

1.在教学过程中应引导学生经历用定义法求函数y=c、y=x、y=x2、y=的导数的过程,领会定义法求简单函数的导数的方法,了解导数概念,领会无限逼近(极限)的思想方法.

2.注意引导学生合理选用导数公式求简单函数的导数.

3.在讲解导数的几何意义时,要注意强调“曲线在点P处的切线”与“过点P的曲线的切线”的区别:光滑曲线在其上一点处的切线只有一条,而过某一点曲线的切线可以不止一条,曲线的切线与曲线可以有不止一个公共点.

导数的

四则运算

法则

1.能根据导数的四则运算法则,求简单函数的导数.

2.通过导数的计算,提高运算能力.

1.通过具体函数的导数计算,引导学生从中归纳出导数的四则运算法则.

2.引导学生根据基本初等函数导数公式表和导数的运算法则,求简单函数的导数(导数的运算法则要求记忆和应用,但不要求推导),通过适度的练习,促进学生基本运算技能的形成.

函数的

单调性

1.了解函数单调性和导数的关系.

2.能利用导数研究函数(多项式函数次数不超过三次)的单调性.

1.结合具体函数的图象,引导学生分析函数的单调性和导数符号的关系,帮助他们归纳利用导数符号判断函数单调性的方法和步骤.

2.应用导数法求多项式函数的单调区间,应选择次数不超过三次的多项式函数.

函数的极值与最值

1.了解函数极大(小)值和最大(小)值的概念.

2.了解函数在某点取得极大(小)值的充分条件和必要条件.

3.会利用导数求函数(多项式函数次数不超过三次)的极大(小)值.

4.会利用导数求函数(多项式函数次数不超过三次)在给定闭区间上的最大(小)值.

5.通过对函数极(最)值的研究,体会局部与整体的关系,体会运用导数方法在研究函数性质中的优越性.

1.通过具体函数图象,引导学生了解函数极大(小)值、最大(小)值的概念,在对比中领会它们的区别,使学生知道前者是一个局部的概念,后者是一个全局的概念.

2.教学中应结合具体函数,通过应用导数方法求函数(多项式函数次数不超过三次)的极大(小)值及最大(小)值,归纳出求函数极(最)值的解题方法和步骤.

3.求具体函数在给定区间的极(最)值时,要求学生了解函数在某点是否取得极大(小)值以及最大(小)值的判定方法;了解导函数的零点(驻点)与极值点之间的关系(此结论仅要求结合图象直观了解,不要求严格证明).

4.在具体的教学过程中,注意先易后难、先简单后综合,着重在于帮助学生掌握一般计算方法和原则,领会导数方法是研究函数性质的另一个重要方法.

生活中的优化问题举例

1.会从实际问题中归纳出数学模型,并利用导数知识加以解决.

2.通过生活中优化问题的解决,培养数学应用意识,提高应用数学的能力.

1.在“利润最大、用料最省、效率最高”等最优化问题的解决过程中,应注意引导学生关注如何从实际问题中选择适当的自变量,确定目标函数,进而从实际问题中提炼出具体的数学问题,并用导数方法加以解决,从中了解实际问题数学化的一般步骤.

2.通过对生活中具体实例的教学,体会导数在解决实际问题中的作用,培养应用意识.

选修1-2

本模块包括统计案例、推理与证明、数系扩充及复数的引入、框图.

学生将在必修课程学习统计的基础上,通过对典型案例的讨论,了解和使用一些常用的统计方法,进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想,认识统计方法在决策中的作用.

“推理与证明”是数学的基本思维过程,也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.学生将进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异;体会数学证明的特点,了解数学证明的基本方法;感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用,养成言之有理、论证有据的习惯.

   数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程,复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充.学生将在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性,学习复数的一些基本知识,体会人类理性思维在数系扩充中的作用.

框图是表示一个系统各部分和各环节之间关系的图示,它的作用在于能够清晰地表达比较复杂的系统各部分之间的关系.学生将学习用“流程图”“结构图”等刻画数学问题以及其他问题的解决过程;并在学习过程中,体验用框图表示数学问题解决过程以及事物发生、发展过程的优越性,提高抽象概括能力和逻辑思维能力,能清晰地表达和交流思想.

 

统计案例

 

内容标准

学习要求

教学建议

独立性

检验

1.了解分类变量,会列两个独立分类变量(只要求2×2)的列联表.

2.根据列联表,会用三维柱形图或二维条形图判断两个分类变量的相关性.

3.会根据列联表数据计算的观测值,并能根据观测值判断两个分类变量相关性.

4.了解独立性检验的基本思想,能用独立性检验的基本思想、方法解决一些实际问题.

1.通过对“肺癌与吸烟有关吗”等实例的分析,总结得出独立性检验的思想,引导学生体会独立性检验的基本思路,会用类比的思想方法得出独立性检验的基本步骤.重点是了解独立性检验的思想方法,对其理论基础不做要求.

2.选择实际的、学生感兴趣的、能反映统计方法的典型案例,组织学生就如何解决案例中的问题展开讨论,以激发学生的学习兴趣.并在对列联表数据处理的过程中,培养学生数据处理的能力.

3.独立性检验的基本思想对学生来说是比较陌生的,教师不宜采取直接介绍的方法,应通过让学生模仿应用的教学方式,学生自己设计解决问题的方案,并通过交流和引导使学生认识到所学方法的基本思想.

4.通过对独立性检验的基本思想、方法的学习,让学生对统计思维和确定思维的差异有一定的理解.

回归分析

1.能根据给出的数据画出散点图,并能根据散点图判断变量之间的相关关系.

2.根据散点图的分布情况,会确定回归模型的类型,会求回归方程.

3.了解使用不同模型回归分析的拟合效果.

4.能用回归的基本思想、方法解决一些实际问题.

1.以“人的体重与身高的关系”等典型案例为教学载体,通过案例的探究,归纳回归分析的基本思想、方法,避免抽象介绍回归分析的思想、方法.

2.让学生积极主动地参与案例探究,根据散点图的分布情况,确定回归模型的类型,探求对相关程度进行检验的统计量(相关系数),从而建立回归分析的基本算法步骤(对相关系数可以估计相关程度的原因只要求从直观上加以感受,不必介绍理论依据).

3.应让学生经历数据处理过程,增强学生对数据的直观感觉,从而了解回归分析的基本思想及其对决策的作用,对于理论基础不作要求.应避免学生单纯记忆和机械套用公式,鼓励学生使用现代技术手段来处理数据.

 

 

 

推理与证明

内容标准

学习要求

教学建议

合情推理

1.了解合情推理的含义.

2.了解归纳推理的一般步骤,能利用归纳进行简单的推理,做出数学猜想.

3.了解类比推理的思维过程,能利用类比等进行简单的推理.

4.结合典型案例,体会并认识合情推理在数学发现中的作用,激发探究意识和创新精神.

1.结合具体实例的推理过程的分析,引导学生了解合情推理的描述性定义,体会归纳、类比的思维方法.通过对比教学,使学生理解类比推理和归纳推理的联系和差异.

2.结合已学过的数学或生活中的实例,通过归纳、类比等方法完成简单的推理.

3.以对数学发现过程的典型案例分析为载体,帮助学生体会并认识合情推理具有猜测和发现新结论以及探索和提供解决问题的思路和方法的作用.

4.应结合教材提供的具体实例组织教学,补充的实例也应是“已经学过的数学实例和生活中的实例”,不宜拔高要求.

演绎推理

1.了解演绎推理的概念,体会演绎推理的重要性.

2.掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理.

3.能够运用“三段论”的思维模式解决问题.

4.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异,通过具体实例的学习,提高演绎推理能力.

1.通过科学理论中的一些实例的讲解,使学生体会演绎推理具有证明结论、整理和构建知识体系的作用,是公理体系中的基本推理方法,广泛应用于自然科学、社会科学领域.

2.结合已学过的数学或生活中的实例,让学生认识到“三段论”是演绎推理的一般模式,学会运用“三段论”证明数学问题.

3.教学中应通过实例,引导学生运用合情推理去探索、猜测一些数学结论,并用演绎推理证明所得结论的正确性,或者用反例推翻错误的猜想.教学的重点在于通过具体实例理解合情推理与演绎推理,让学生在获得数学结论时经历合情推理到演绎推理的过程.

4.应结合教材提供的具体实例组织教学,补充的实例也应是“已经学过的数学实例和生活中的实例”,不宜再拓宽、加深,拔高要求.

直接证明

1.了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法.

2.了解分析法和综合法的思考过程、特点.

3.能根据题目灵活选择适当的证明方法解决简单的证明问题,感受直接证明在数学以及日常生活中的作用,养成言之有理、论证有据的习惯.

1.分析法和综合法是学生已学过的基本证明方法,教学中对证明的技巧不宜作过高的要求,应重在通过实例的剖析,引导学生体会分析法和综合法的思考过程和证明特点.

2.通过经历解决有关问题的过程,培养学生分析问题、解决问题的能力.培养学生推理论证能力和抽象概括能力.

间接证明

1.了解间接证明的一种基本方法:反证法.

2.了解反证法的思考过程、特点.

3.能根据题目灵活选择适当的证明方法解决简单的证明问题,并提高逆向思维能力,感受间接证明在数学以及日常生活中的作用,养成言之有理、论证有据的习惯.

1.通过案例剖析指明反证法的适用情形和使用的逻辑规则,明确反证法的思考过程及特点.

2.学生在使用反证法证明问题上存在逻辑上的困难,教学中应突出过程分析和方法、步骤的归纳.对补充例题的选择应适合学生的数学实际水平,不宜太难.

 

 

 

数系的扩充与复数的引入

内容

标准

学习要求

教学建议

数系的

扩充

1.了解数系的扩充过程,知道引入复数的必要性.

2.体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用,认识人在事物发展变化中所应体现的价值和作用.

1.通过回顾数系扩充的历史,让学生体会到数集的扩充是生产实践的需要,也是数学学科自身的需要.

2.介绍数的概念发展过程,使学生对数的发展历史以及各种数集之间的关系有着比较清晰、完整的认识,从而激发学生积极主动地建构新的数系.

3.虚数单位的引入,产生复数集,在这个过程中蕴含了创新精神和实践能力,对培养学生的情感、养成科学的态度、形成正确的价值观有积极意义,数学中应注意体现.

复数的概念及复数相等的充要条件

1.理解复数的基本概念,能利用复数的有关概念对复数进行分类.

2.理解复数相等的充要条件,会用复数相等条件解决有关问题.

3.体会分类讨论、等价转化等数学思想和方法,初步学会运用矛盾转化、分与合、实与虚等辩证唯物主义观点看待和处理问题.

1.复数的概念是教学的难点和关键.教学时可与前几次数系的扩充进行类比,让学生了解在数系扩充中,加法、乘法的交换律、结合律及乘法对加法的分配律成立.

2.理解复数的基本概念并运用它去解题也是本节的重要学习内容,教学中可多举些例子帮助学生加深理解复数的概念.

3.让学生明确不全是实数的两个复数只有相等或不相等关系,没有大小关系,不能比较大小.明确复数问题实数化是解决复数问题的最基本的思想方法.

复数的表示法及几何意义

1.了解复数的代数表示法.

2.了解复数集、复平面内的点的集合、复平面内以原点为起点的向量集合之间的一一对应关系,并会在复平面内画出它们相应的图示位置.

3.了解复数的几何意义,体会数形结合思想,提高直观思维能力.

1.应注重向学生渗透类比、联想的思想方法,启发学生以复平面为载体,研究复数集、复平面内点的集合、复平面内以原点为起点的向量集合之间的一一对应关系,并由此获得复数的几何表示、向量表示.

2.在认识复数的代数表示法时,应充分运用数形结合的思想方法,帮助学生强化对复数几何意义的认识,体验数学的思维特色,提高数学素养.

复数的

运算

1.能进行复数代数形式的四则运算.

2.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.

3.感受形与数之间的和谐与统一,提高实践动手操作能力,激发创新精神.

1.教学中可以通过引入复数的向量表示,以向量为主线,把代数、几何联系起来,由向量加减法运算的几何意义得到复数加减法运算的几何意义.

2.复数运算是教学重点,教学中可以类比多项式的运算法则,研究复数的加法、减法、乘法的运算法则.在除法运算教学中,把复数的分母“实数化”转化为乘法运算,应重视算理.

3.在复数代数形式的四则运算的教学中,应注意避免繁琐的计算和技巧训练,将教学重点放在帮助学生理解算理,体验复数问题实数化的过程与方法、提高运算求解能力上.

 

 

 

内容

标准

学习要求

教学建议

流程图

1.进一步认识程序框图,了解工序流程图;能绘制简单实际问题的流程图.

2.理解流程图的特征,掌握流程图的画法,会用流程图去掌握知识.

3.学会条理性思维,体会用流程图清晰表达解决问题的优越性.

1.通过典型算法案例让学生认识到程序框图是算法步骤的直观图示,体会用程序框图表示算法的优点,提高逻辑思维能力.

2.流程图的教学,应从分析实例入手,引导学生应用框图表示数学计算与证明过程的主要思路与步骤、实际问题的工序流程等,并在读图、画图等具体运用过程中理解流程图的特征.

3.关于框图知识的拓展现在已经形成了专门的研究分支,但这不是这部分课程要求的内容,在这里仅仅是初步的了解框图的作用,选择实例不要给学生造成理解上的困难,更不要求抽象地讨论相关的概念.

结构图

1.了解结构图,能运用结构图梳理已学过的知识、整理收集到的资料信息.

2.体会结构图在揭示事物之间联系中的作用.

3.掌握结构图的画法,会用结构图去掌握知识,并从中体验用结构图的优越性.

4.学会条理性思维,养成用流程图、结构图清晰表达和交流思想的习惯,提高抽象概括能力和逻辑思维能力.

1.从分析实例入手,引导学生运用结构图表示某一数学知识系统的结构关系等,并在运用过程中理解结构图的特征,认识结构图中各要素之间的关系.

2.教学中应让学生绘制结构图,结合做出的结构图与他人进行交流,体会结构图在揭示事物之间联系中的作用.

3.结构图应用比较广泛,教学中要从具体的实例出发,实例的选择要简单、清晰.可以要求学生对同一事物用不同的结构图来表示,但在这部分不要求给出严格的定义和分析.在框图这部分内容中,没有必要讨论流程图和结构图之间的区别和联系.

 

选修2—1

本模块包含常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间中的向量(简称空间向量)与立体几何.

    正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质.学生将在义务教育阶段学习的基础上,学习常用逻辑用语,体会逻辑用语在表述和论证中的作用,利用这些逻辑用语准确地表达数学内容,更好地进行交流.

    在圆锥曲线与方程中,学生将学习圆锥曲线与方程,了解圆锥曲线与二次方程的关系,掌握圆锥曲线的基本几何性质,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.结合已学过的曲线及其方程的实例,了解曲线与方程的对应关系,进一步体会数形结合的思想.

    用空间向量处理立体几何问题,为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具.学生将在学习平面向量的基础上,把平面向量及其运算推广到空间,运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题,体会向量方法在研究几何图形中的作用,进一步发展空间想像能力和几何直观能力.

常用逻辑用语

内容

标准

学习要求

教学建议

命题及其关系

1.了解命题的概念,会判断一些简单命题的真假.

2.了解命题的逆命题、否命题、逆否命题的有关概念,会写出易于改写成“若p,则q”形式的命题的逆命题、否命题、逆否命题.

3.会分析四种命题的相互关系.

1.通过生活和数学中的丰富实例,说明四种命题形式的客观存在,使学生进一步认识到研究四种命题的必要性,体会逻辑用语在表述和论证中的作用.

2.通过适量的实例阐述命题的概念,所举的实例应能清晰地分辨出组成这个命题的条件和结论.

3.对“命题的逆命题、否命题、与逆否命题”只要求作一般性的了解,应以学生熟悉的、与数学有关的命题为重点载体进行训练,引导学生写出它的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假,而不应进行形式上的加深讨论.教学中仅要求会写出易于改写成“若p,则q”形式的命题的四种命题,对于不是“若p,则q”形式的命题,没有必要讨论它的四种命题.

4.通过实例的分析,总结出四种命题之间的基本关系图,帮助学生弄清原命题与逆否命题、逆命题与否命题是同真假的,让学生体验规律的探索、发现过程.

充分条件与必要条件

1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.

2.会结合具体命题,分析四种命题的相互关系;会利用互为逆否命题的两个命题之间的等价关系来判断命题的真假及证明简单的数学问题.

3.通过“充要条件”的学习进一步提高辨证思维的能力.

1.在“若…则…”形式的命题为真命题的基础上引入充分条件、必要条件的概念;以学生熟知的具体实例为载体,分析条件之间的关系,逐步加深对必要条件、充分条件与充要条件的意义的理解.教学时,可以运用Venn图来直观描述充分条件、必要条件的关系,帮助学生对概念的理解.

2.对充分条件、必要条件与充要条件知识,只要求掌握 “若p则q”形式的命题.这里的p与q都是不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的,不要随意拔高要求.

3.应通过实例让学生明白寻求充分条件、必要条件和充要条件来解决问题是一种常用的方法,理解充分条件、必要条件和充要条件在解决和思考数学问题中的作用.

4.通过实例的教学,引导学生学会利用“互为逆否命题的两个命题之间的等价关系”来判断具体命题的真假并证明简单的数学问题.

简单的逻辑联结词

1.通过数学实例,了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.

2.能正确利用“或”、“且”、“非”表述相关的数学命题.

3.能准确区分命题的否定与否命题.

 

1.在教学中可以用逻辑联结词“且”与“或”连结一些条件,形成新的条件,构造新命题.但对简单命题,复合命题的概念不要涉及.

2.教学中应引导学生利用逻辑联结词“或”、“且”、“非”构造新命题,通过分析所构造的新命题的真假,理解“或”、“且”、“非”的含义.可以适当联系集合与不等式的相关知识进行讲授,让学生在探究新旧知识关系的同时,提升对数学知识理解.

3.任何一个命题都有否定形式,但命题的否定与否命题是不同的.

全称量词与存在量词

1.理解全称量词与存在量词的意义。

2.能正确利用全称量词与存在量词叙述数学问题.

3.体会量词在数学与生活中的作用。

1.应结合具体的命题来理解全称量词与存在量词的意义.对于量词,重在理解它们的含义,而不要追求它们形式化的定义.要注意全称量词与存在量词在日常生活和数学中的表达形式.

2.对于一个命题,冠以不同的量词,得到的命题的属性也不同:冠以全称量词得到的是全称命题;冠以存在量词得到的是特称命题.教学中应引导学生正确区分这两种命题.对于含有两个量词的命题,不要求学生掌握.

3.通过生活和数学中丰富的实例,让学生体会量词在数学与生活中的作用,自觉提高利用全称量词与存在量词准确、简洁地表述数学内容的能力.

含有一个量词的命题的否定

1.通过生活和数学中的实例,理解含有一个量词的命题的否定的意义.

2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

1.利用日常用语和学生熟悉的数学命题介绍对含有一个量词的命题进行否定的意义,进一步展现全称量词和存在量词在描述问题中的作用.

2.教学过程中,要在实践的基础上,教会学生形式化地把握这种否定的特征,加强学生对含有一个量词的命题的否定的理解.

3.对于命题的否定,只要求学生能够对含有一个量词的命题进行否定.

 

圆锥曲线与方程

内容

标准

学习要求

教学建议

椭圆

1.经历从具体情景中抽象出椭圆的过程,掌握椭圆的定义.

2.会推导椭圆的标准方程并能够利用给定条件求椭圆的标准方程.

3.会利用椭圆的标准方程及几何图形研究椭圆的简单几何性质,能掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).

4.经历由轨迹特征抽象成数量关系、形成方程的探究过程,在实施数形转化解决问题的过程中,培养自身的抽象概括能力和逻辑思维能力,养成善于独立思考的良好品质.

1. 通过生活实例或利用多媒体演示卫星的运行轨迹、平面截圆锥得到圆锥曲线,让学生经历从具体情境中抽象出椭圆的过程,通过操作、观察、探究揭示椭圆的几何特征,理解并掌握椭圆的定义.

2.推导椭圆标准方程的过程,也是求曲线方程的过程.要引导学生模仿求直线与圆的方程时所采用的解题步骤,推导椭圆标准方程.在推导过程中,方程为两个根式的和等于一个非零常数,要注意说明这类方程化简的必要性和方法,培养学生的运算求解能力,体会数学美在解决问题中的价值功能.

3.对于给定某些条件的椭圆,可引导学生利用待定系数法根据条件求出 a、b的值,确定相应的标准方程.

4.通过对实例的教学,使学生学会从椭圆的光学性质、各行星的运行轨道等具体情景,抽象出椭圆的几何性质,感受圆锥曲线在揭示客观世界的规律和解决问题中的作用.

5.利用椭圆标准方程研究其几何性质时应关注以下两点:一是掌握椭圆的基本性质以及方程中不变量的几何意义和相互关系,二是希望通过对方程的讨论,领悟解析几何是如何用代数方法来研究曲线性质的.由于是第一次系统地用代数的方法研究曲线的性质,所以教学进度应适当放慢.

双曲线

1.了解双曲线的定义、几何图形.

2.会推导双曲线的标准方程.

3.知道双曲线的简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).

 

1.让学生在学习椭圆的基础上,通过类比、直观操作、观察模型等了解双曲线的定义.

2.由于学生已有了求椭圆标准方程的经验,在推导双曲线的标准方程时,应尽可能让他们自已推导.

3.类比椭圆的几何性质研究双曲线的几何性质,引导学生在观察双曲线图形的同时,结合方程探究双曲线的简单几何性质.对于双曲线所特有的渐近线,可以利用多媒体演示,直观反映其“渐近”的特征.

4.通过对具体实例的分析,帮助学生领会运用双曲线的知识解决实际问题的实质.

抛物线

1.掌握抛物线的定义、几何图形.

2.会推导抛物线的标准方程,能够利用给定条件求抛物线的标准方程.

3.利用抛物线的标准方程及几何图形研究抛物线的简单几何性质,掌握抛物线的简单几何性质.

1.通过丰富的实例(投掷铅球的运行轨迹、探照灯的镜面),使学生了解抛物线的背景与应用,引导学生掌握抛物线的定义;借助计算机,向学生展示用平面截圆锥得到抛物线的过程,使学生加深对抛物线定义的理解,掌握抛物线的定义.

2.让学生独立地探索建立抛物线标准方程的过程,掌握求抛物线标准方程的方法;对于在已知条件下求抛物线的方程,要引导学生考虑到抛物线标准方程的四种形式,培养其思维的严谨性.

3.通过对具体的实例的教学,引导学生学会利用定义解题,加深对抛物线定义的理解.

4.通过对具体的生活实例的教学,使学生感受到抛物线在解决实际问题中的作用.

圆锥曲线的

简单应用

1.掌握直线与圆锥曲线的位置关系.

2.能解决圆锥曲线在实际中的一些简单应用,进一步提升“应用数学”的意识,提高解决问题的能力.

3.由曲线(形)到方程(数),又由方程研究曲线,感受数形结合思想的应用.

1. 通过圆锥曲线与方程的学习,让学生理解曲线的交点坐标就是曲线方程的公共实数解,可以通过求解曲线方程组得到两曲线的交点.

2.由实例的教学,帮助学生学会应用方程组的知识研究直线与圆锥曲线的位置关系,并解决相关的简单问题.

3.通过生活中丰富的实例(如投掷铅球的运行轨迹,卫星的运行轨迹等),引导学生利用坐标法解决生活中实际问题,培养学生抽象概括能力和推理论证能力,形成善于独立思考的良好品质.

曲线与

方程

1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义.

2.结合已学过的曲线及其方程的实例,了解曲线与方程的对应关系.

3.掌握坐标法,会求曲线方程.

4.通过曲线与方程的关系的探究,进一步体会数形结合的思想.

1. 曲线与方程的教学应以学习过的曲线为主,注重使学生体会曲线与方程的对应关系,通过实例教学让学生感受数形结合思想.

2.通过具体的实例,引导学生掌握坐标法的基本思想,归纳总结求曲线方程的基本步骤,体会坐标法在研究几何图形中的作用.

3.通过实例教学,引导学生探索并总结出求曲线方程的常用方法.

4.对曲线与方程的学习,应关注到学生自身的发展与需要,让不同层次的学生有不同的收获.对于感兴趣的学生,教师可以引导学生了解圆锥曲线的统一方程. 有条件的学校应充分发挥现代教育技术的作用,通过一些软件向学生演示方程中参数的变化对方程所表示的曲线的影响,使学生进一步理解曲线与方程的关系.

 

 

空间向量与立体几何

内容

标准

学习要求

教学建议

空间向量及其运算

1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义.

2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示;掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.

3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.

4.经历向量由平面向空间推广的过程,体会类比与归纳的数学思想方法,体验数学在结构上的和谐性.

1.通过对平面向量的回顾,经历向量及其运算由平面向空间推广的过程,体验维数增加所带来的影响,将平面向量的有关性质、运算与关系推广到空间向量.

2.通过类比平面向量的正交分解及其坐标表示,引导学生掌握空间向量的正交分解及其坐标表示,并认识到除了由于维数增加所带来的影响外,它们的坐标运算法则是完全相同的.

3.教学中应特别关注将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来,通过向量运算及推理,研究几何元素的位置关系.

4.引导学生正确理解“向量方法”与“坐标方法”.对这两个方法的教学,关键是让学生感悟到:它们的共同点是用基底来表达问题中的有关向量,再用向量的运算来解决问题;不同之处在于前者是化归为图形中已有的向量,后者则选择一组正交的单位基底,将向量运算更彻底地转化为坐标运算.教学中要引导学生根据问题的具体情况,选择适当的方式.

5.应引导学生认识到向量不仅仅是一个计算的工具,它还是连接代数与几何的桥梁,是数形结合思想的一个具体体现:一方面,向量的运算可以解决几何中的问题;另一方面,对于代数问题,可以通过向量给予几何的解释.

空间向量的应用

1.理解直线的方向向量与平面的法向量.

2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直和平行关系.

3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些重要定理(包括三垂线定理)。

4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,体会向量方法在研究几何问题中的作用.

5.能灵活选择向量方法与综合法,从不同角度解决立体几何问题.

6.运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题,体会向量方法在研究几何图形中的作用,发展空间想象能力和几何直观能力.

1.对于直线的方向向量与平面的法向量,应引导学生从空间图形基本要素的向量化来理解.首先,方向是直线和平面的一个重要要素,它可以用来确定和度量图形中的角;其次,法向量很好地反映了直线与平面的位置关系.

2.在教学中应帮助学生理解几何问题中蕴含的几何要素(如二面角问题中蕴含的几何要素就是这两个平面的法向量),会用向量来表示这些几何要素,进而用向量的运算性质处理几何问题.

3.通过具体实例的教学,帮助学生归纳并掌握向量方法——解决立体几何问题的一般方法.在学习立体几何初步的基础上,通过空间向量这个载体,将立体几何中的演绎、证明转化为计算,进一步体会向量方法在研究几何问题中的作用.

4.通过适量的训练,引导学生归纳出立体几何问题的主要题型:①空间位置关系(平行和垂直位置关系)的论证;②空间量的计算,如求空间角及距离.

5.通过具体实例的教学,帮助学生掌握用向量方法解决立体几何问题的基本步骤:①把几何问题转化为向量问题,②进行向量运算,③由向量运算解释几何问题;从中体会“向量方法”与“坐标方法”在解决立体几何题中的作用,提高空间想象能力及推理论证能力.

 

选修22

本模块包含导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入.

    微积分的创立是数学发展中的里程碑,导数概念是微积分的核心概念之一,它有极其丰富的实际背景和广泛的应用.学生将通过大量实例,经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程,理解导数概念,了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用;初步了解定积分的概念,体会导数的思想及其丰富内涵,感受导数在解决实际问题中的作用;了解微积分的文化价值,为以后进一步学习微积分打下基础.

    “推理与证明”是数学的基本思维过程,也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.学生将通过对已学知识的回顾,进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异;体会数学证明的特点,了解数学证明的基本方法;感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用,养成言之有理、论证有据的习惯.

数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程,复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充.学生将在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性,学习复数的一些基本知识,体会人类理性思维在数系扩充中的作用.

导数及其应用

内容标准

学习要求

教学建议

导数概念及其几何意义

1.了解平均变化率与瞬时变化率的概念;了解导数概念的实际背景,了解导数概念,体会导数的思想及其内涵.

2.理解导数的几何意义,体验建立数学模型刻画客观世界的“数学化”过程.

3.通过导数概念的学习,体会数形结合的思想方法,领会“量变到质变”的哲学原理.

1.教学中应重视产生导数概念的实际背景,通过具体应用实例(如平均速度、膨胀率、效率、增长率等),抽象出平均变化率的概念.

2.借助图形直观,通过割线斜率向切线斜率逼近过程的研究,通过物体运动的平均速度向瞬时速度的过渡,抽象出瞬时变化率的概念,了解导数的几何意义和物理背景,让学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程,进而领会运动、变化的数学思想,体会导数的内涵,感受“导数是对事物瞬时变化率的描述”.

3.利用教具或多媒体动画演示,加深对导数概念及其几何意义的理解和掌握.

4.要注重极限思想的运用以及导数概念产生的背景,用形象直观的“逼近”方法定义导数.对导数的概念,仅要求从感性认识的角度了解,其形式化的表述要避开,对极限的定义不宜补充,应让学生有更充裕的时间学习导数的思想方法,体会及其在现实生活中的应用.

基本初等函数的导数公式

1.能根据导数定义求函数y=c、y=x、y=x2、y=x3、y=的导数.

2.能利用基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.

3.会用导数公式求瞬时变化率,进而强化导数概念以及对导数几何意义的理解.

1.在教学过程中应引导学生经历用定义法求函数y=c、y=x、y=x2、y=x3、y=的导数的过程,领会定义法求简单函数的导数的方法,了解导数概念,领会无限逼近(极限)的思想方法.

2.在用定义法求函数的导数的过程中帮助学生领会利用有理化解决问题的方法.

3.引导学生合理选用导数公式求简单函数的导数.

4.在讲解导数的几何意义时,要注意强调“曲线在点P处的切线”与“过点P的曲线的切线”的区别:光滑曲线在其上一点处的切线只有一条,而过其上一点的切线可以不止一条,曲线的切线与曲线可以有不止一个公共点. 

导数的四则运算法则

1.能根据导数的四则运算法则,求简单函数的导数.

2.会求简单的复合函数(仅限于求形如f(ax+b))的导数,提高计算能力.

1.  通过具体函数的导数计算,引导学生从中归纳出导数的四则运算法则.

2.  引导学生根据导数公式表和导数的运算法则,求简单函数的导数(导数的运算法则要求记忆和应用,但不要求推导),通过适度的练习,促进学生基本运算技能的形成.

3.教学中可先介绍复合函数的概念,然后通过具体函数的求导数计算,引出复合函数的求导法则,帮助学生学会求简单的复合函数(仅限于求形如f(ax+b))的导数.

函数的单调性

1.了解函数单调性和导数的关系.

2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数的次数不超过三次).

1.结合具体函数的图象,引导学生分析函数的单调性和导数符号的关系,帮助他们归纳利用导数符号判断函数单调性的方法和步骤.

2.应用导数法求函数的单调区间(多项式函数的次数不超过三次).

函数的极值与最值

1.了解函数极大(小)值和最大(小)值的概念.

2.了解函数在某点取得极大(小)值的充分条件和必要条件.

3.会利用导数求函数的极大(小)值(其中多项式函数的次数不超过三次).

4.会利用导数求函数在给定闭区间上的最大(小)值(其中多项式函数的次数不超过三次).

5.通过对函数极(最)值的研究,体会局部与整体的关系,

6.通过对比初等方法在研究函数性质过程中的作用,体会运用导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.

1.通过具体函数图象,引导学生了解函数极大(小)值、最大(小)值的概念,在对比中领会它们的区别,使学生知道前者是一个局部的概念,后者是一个全局的概念.

2.应结合具体函数,通过应用导数方法求函数的极大(小)值及最大(小)值(其中多项式函数的次数不超过三次),归纳出求函数极(最)值的解题方法和步骤.

3.求具体函数在给定区间的极(最)值时,要求学生了解函数在某点是否取得极大(小)值以及最大(小)值的判定方法.了解导函数的零点(驻点)与极值点之间的关系(此结论仅要求结合图象直观了解,不要求严格证明).

4.在利用导数方法研究函数性质的教学中,应引导学生通过对比初等方法研究函数性质,从中体会运用导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.

5.在具体的教学过程中,注意先易后难、先简单后综合,着重在于帮助学生掌握一般计算方法和原则,领会导数方法是研究函数性质的另一个重要方法.

生活中的优化问题举例

1.会从实际问题中归纳出数学模型,并利用导数知识加以解决.

2.通过生活中优化问题的解决,培养数学应用意识,提高应用数学的能力.

1.在“利润最大、用料最省、效率最高”等最优化问题的解决过程中,应注意引导学生关注如何从实际问题中选择适当的自变量,确定目标函数,进而从实际问题中提炼出具体的数学问题,并用导数方法加以解决,从中了解实际问题数学化的一般步骤.

2.通过对生活中具体实例的教学,体会导数在解决实际问题中的作用,培养应用意识.

定积分的概念

1.了解定积分的实际背景;体会定积分的基本思想.

2.初步了解定积分概念.

3.了解“无限逼近”思想.

1.通过实例(如求曲边梯形面积、变力做功等)的教学,直观地了解定积分的实际背景.

2.通过对曲边梯形面积和变力做功的教学,在实际问题的“数学化”过程中,进一步体会建立数学模型是刻画客观世界中数学结构的重要方法和手段,加深对变量数学思想方法的理解,从中了解定积分概念.

3.结合具体实例,在对区间n等分的情况下,通过n取某些具体的数值进行梯形面积的求和计算,了解“化曲为直”、无限逼近的思想方法,结合误差计算与误差估计(仅要求从几何直观或利用计算机等工具进行近似计算,不要求公式求和意义上的严格证明),初步认识定积分的基本思想.

微积分基本定理

1.了解微积分基本定理的产生背景.

2.直观了解微积分基本定理的含义,会求某些常见简单函数的定积分.

3.了解数学与生活、数学与物理等的联系,体会数学的应用价值.

1.通过适量的实例,了解微积分基本定理,并能利用牛顿—莱布尼兹公式,求一些常见简单函数的定积分.

2.通过实例教学,引导学生对比、发现导数方法与积分方法的联系,理解并掌握导数公式表和积分基本定理的应用,通过具体的曲边梯形面积的计算,初步掌握定积分的应用,体会数学的应用价值.

推理与证明

内容

标准

学习要求

教学建议

合情推理

1.了解合情推理的含义.

2.了解归纳推理的一般步骤,能利用归纳进行简单的推理,做出数学猜想.

3.了解类比推理的思维过程,能利用类比等进行简单的推理.

4.结合典型案例,体会并认识合情推理在数学发现中的作用,激发探究意识和创新精神.

1.结合具体实例的推理过程的分析,引导学生了解合情推理的描述性定义,体会归纳、类比的思维方法.通过对比教学,使学生理解类比推理和归纳推理的联系和差异.

2.结合已学过的数学或生活中的实例,通过归纳、类比等方法完成简单的推理.

3.以对数学发现过程的典型案例分析为载体,帮助学生体会并认识合情推理具有猜测和发现新结论以及探索和提供解决问题的思路和方法的作用.

4.应结合教材提供的具体实例组织教学,补充的实例也应是“已经学过的数学实例和生活中的实例”,不宜拔高要求.

演绎推理

1.了解演绎推理的概念,体会演绎推理的重要性.

2.掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理.

3.能够运用“三段论”的思维模式解决问题.

4.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异,通过具体实例的学习,提高演绎推理能力.

1.通过科学理论中的一些实例的讲解,使学生体会演绎推理具有证明结论、整理和构建知识体系的作用,是公理体系中的基本推理方法,广泛应用于自然科学、社会科学领域.

2.结合已学过的数学或生活中的实例,让学生认识到“三段论”是演绎推理的一般模式,学会运用“三段论”证明数学问题.

3.教学中应通过实例,引导学生运用合情推理去探索、猜测一些数学结论,并用演绎推理证明所得结论的正确性,或者用反例推翻错误的猜想.教学的重点在于通过具体实例理解合情推理与演绎推理,让学生在获得数学结论时经历合情推理到演绎推理的过程.

4.应结合教材提供的具体实例组织教学,补充的实例也应是“已经学过的数学实例和生活中的实例”,不宜拓宽、加深,拔高要求.

直接证明

1.了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法.

2.了解分析法和综合法的思考过程、特点.

3.能根据题目灵活选择适当的证明方法解决简单的证明问题,感受直接证明在数学以及日常生活中的作用,养成言之有理、论证有据的习惯.

1.分析法和综合法是学生已学过的基本证明方法,教学中对证明的技巧不宜作过高的要求,应重在通过实例的剖析,引导学生体会分析法和综合法的思考过程和证明特点.

2.通过经历解决有关问题的过程,培养学生分析问题、解决问题的能力.培养学生推理论证能力和抽象概括能力.

间接证明

1.了解间接证明的一种基本方法:反证法.

2.了解反证法的思考过程、特点.

3.能根据题目灵活选择适当的证明方法解决简单的证明问题,并提高逆向思维能力,感受间接证明在数学以及日常生活中的作用,养成言之有理、论证有据的习惯.

1.通过案例剖析指明反证法的适用情形和使用的逻辑规则,明确反证法的思考过程和特点.

2.学生在使用反证法证明问题上存在逻辑上的困难,教学中应突出过程分析和方法、步骤的归纳.对补充例题的选择应适合学生的数学实际水平,不宜太难.

 

数学归纳法

1.了解归纳法与数学归纳法的原理.

2.能用不完全归纳法进行归纳分析.

3.了解数学归纳法的使用范围,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.

4.理解“归纳——猜想——证明”这一探索发现的思维方法,认识有限与无限的辩证关系,形成严谨务实的科学态度和理性精神.

1.通过具体例子的教学,掌握不完全归纳法的解题思想及数学归纳法原理,引导学生掌握应用数学归纳法证明命题的一般方法与步骤,进而解决一些简单的数学命题的证明.

2.数学归纳法是重要的数学思想方法,是证明关于自然数的有关命题的重要方法.教师应通过对一些简单问题的分析,帮助学生掌握这种思想方法,懂得数学归纳法有两个构成步骤,第一个步骤是奠基,是命题递推的基础,不可省略;第二个步骤是命题推理的根据,是数学归纳法的核心.

3.在利用数学归纳法解决问题时,常常需要进行一些代数恒等变换,不要选择那些代数恒等变换比较复杂或过于技巧化的问题或习题,以免冲淡了对数学归纳法思想的理解.

4.体会并认识归纳推理在数学发现中的作用,感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用,养成言之有理、论证有据的习惯.

数学文化

了解公理化思想,感受数学文化的价值.

通过对“欧几里得《几何原本》”等实例的介绍,引导学生体会公理化思想,通过介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用,让学生了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用,体会数学的科学价值、应用价值、人文价值.

 

数系扩充与复数的引入

 

内容标准

学习要求

教学建议

数系的扩充

1.了解数系的扩充过程,知道引入复数的必要性.

2.体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用,认识人在事物发展变化中所应体现的价值和作用.

1.通过回顾数系扩充的历史,让学生体会到数集的扩充是生产实践的需要,也是数学学科自身的需要.

2.介绍数的概念发展过程,使学生对数的发展历史以及各种数集之间的关系有着比较清晰、完整的认识,从而激发学生积极主动地建构新的数系.

3.通过虚数单位的引入,产生复数集.在这个过程中蕴含了创新精神和实践能力,对培养学生的情感、养成科学的态度、形成正确的价值观有积极意义,教学中应注意体现.

复数的概念及复数相等的充要条件

1.理解复数的基本概念,能利用复数的有关概念对复数进行分类.

2.理解复数相等的充要条件,会用复数相等条件解决有关问题.

3.体会分类讨论、等价转化等数学思想和方法,初步学会运用矛盾转化、分与合、实与虚等辩证唯物主义观点看待和处理问题.

1.复数的概念是教学的难点和关键.教学时可与前几次数系的扩充进行类比,让学生了解在数系扩充中,加法、乘法的交换律、结合律及乘法对加法的分配律成立.

2.理解复数的基本概念并运用它去解题也是本节的重要学习内容,教学中可多举些例子帮助学生加深理解复数的概念.

3.让学生明确不全是实数的两个复数只有相等或不相等关系,没有大小关系,不能比较大小.明确复数问题实数化是解决复数问题的最基本的思想方法.

复数的表示法及几何意义

1.了解复数的代数表示法.

2.了解复数集、复平面内的点的集合、复平面内以原点为起点的向量集合之间的一一对应关系,并会在复平面内画出它们相应的图示位置.

3.了解复数的几何意义,体会数形结合思想,提高直观思维能力.

1.应注重向学生渗透类比、联想的思想方法,启发学生以复平面为载体,研究复数集、复平面内点的集合、复平面内以原点为起点的向量集合之间的一一对应关系,并由此获得复数的几何表示、向量表示.

2.在认识复数的代数表示法时,应充分运用数形结合的思想方法,强化对复数几何意义的认识,有利于学生体验数学的思维特色,提高数学素养.

复数的运算

1.能进行复数代数形式的四则运算.

2.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.

3.感受形与数之间的和谐与统一,提高实践动手操作能力,激发创新精神.

1.教学中可以通过引入复数的向量表示,以向量为主线,把代数、几何联系起来,由向量加减法运算的几何意义得到复数加减法运算的几何意义.

2.复数运算是教学重点,教学中可以类比多项式的运算法则,研究复数的加法、减法、乘法的运算法则.在除法运算教学中,把复数的分母“实数化”转化为乘法运算,应重视算理,不要让学生记忆运算公式,减轻学生记忆负担.

3.在复数代数形式的四则运算的教学中,应注意避免繁琐的计算和技巧训练,将教学重点放在帮助学生理解算理,体验复数问题实数化的过程与方法、提高运算求解能力.

           

 

选修2-3

本模块包含计数原理、统计案例、概率.

    计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法,它们为解决很多实际问题提供了思想和工具.学生将学习计数基本原理、排列、组合、二项式定理及其应用,了解计数与现实生活的联系,会解决简单的计数问题。

在统计案例中,学生将在必修课程学习统计的基础上,通过对典型案例的讨论,了解和使用一些常用的统计方法,进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想,认识统计方法在决策中的作用.

在概率中,学生将在必修课程学习概率的基础上,学习某些离散型随机变量分布列及其均值、方差等内容,初步学会利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象的方法,并能用所学知识解决一些简单的实际问题,进一步体会概率模型的作用及运用概率思考问题的特点,初步形成用随机观念观察、分析问题的意识.

计数原理

内容标准

学习要求

教学建议

分类加法计数原理与分步乘法计数原理

1.掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理.

2.正确理解“完成一件事”的含义,能根据实际问题的特征,正确区分“分类”或“分步”.

3.能根据具体问题的特征选择两个基本计数原理解决一些简单的实际问题.

4.体验数学发现和创造的历程,增强应用意识.

1.通过学生熟悉的典型实例,让学生探索并总结两个基本计数原理的内容.

2.按照从简单到综合的方式,安排适量的例题,逐步引导学生体会两个基本计数原理的基本思想,学会正确运用这两个原理分析、解决问题.

3.两个基本计数原理的教学可以安排在同一课时中进行,以便进行适当的对比.同时引导学生认识它们的异同以及为什么分类要做到“不重不漏”,分步要做到步骤完整.

4.教学中应引导学生根据计数原理分析、处理问题,而不应机械地套用公式.

5.在这部分教学中,应避免选择繁琐的、技巧性过高的计数问题作为例题、习题.

排列与组合

1.理解排列的概念,掌握排列数计算公式,会用它解决一些简单的实际问题.

2.理解组合的概念,掌握组合数计算公式,会用它解决一些简单的实际问题.

3.掌握组合数的性质,并会用它解决相关问题.

4.能在综合性的问题情境中分清排列和组合问题,会解一些基本的排列组合综合问题.

5.提高对数学概念的理解能力和对公式、原理的应用能力.

1.通过具体实例,引出排列的概念,并将排列问题化归为直接应用分步计数原理的问题,推导排列数公式,由此强调特殊到一般的模型化过程.

2.以“类比”的形式引出组合概念,在实例分析中应充分利用树形图或框图进行直观形象的讲解;在排列组合综合应用中,应注意启发学生认识:到区分组合问题与排列问题的关键是“是否有序”.

3.在解排列组合的综合题时,应着重帮助学生分清哪些是排列问题,哪些是组合问题,并选择恰当的方法加以解决.

二项式定理

1. 能用计数原理证明二项式定理,掌握二项式定理.

2.掌握二项展开式的通项公式.

3.理解二项式系数的含义,了解二项式系数与二项展开式项的系数的区别与联系.掌握二项式系数的性质,能用它计算和证明一些简单的问题.

4.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.

5.体会数学的美学意义,感受学习数学思想方法的重要性.

1.教学时可从的展开式入手,直接引导学生用两个计数原理分析的展开式的项的特征,再用问题串的形式,由特殊到一般地展开教学,帮助他们认识到二项展开式与两个计数原理之间的内在联系,猜想的展开式,逐步发现二项式定理,并给出证明.

2.通过适量的练习,强化对通项公式的特征的认识,学会利用通项公式解决有关问题.

3.引导学生从函数角度研究问题,通过画图象,采用数形结合的方法进行直观分析,发现二项式系数的某些重要规律;通过计算填表的方式,引导学生认识二项展开式中各项的二项式系数内在的联系,发现“杨辉三角”.

4.赋值法是研究二项展开式系数的常用方法,教学中应让学生体会到赋值法在解题中的应用.

 

 

统计与概率

内容标准

学习要求

教学建议

离散型随机变量及其分布列

1.理解取有限值的离散型随机变量的概念.

2.能应用排列、组合及概率的知识求某些简单的离散型随机变量的分布列.

3.理解离散型随机变量分布列的性质

4.在对具体问题的分析中,认识分布列对于刻画随机现象的重要性.

1.通过学生熟悉的实例设置情境引入随机变量,了解如何从定量的角度研究随机现象,展示随机现象的刻画过程,从而发展学生的数学思维.

2.通过实例比较,从中体会“离散型随机变量”与“随机变量”的区别.

3.从实例中发现并阐述离散型随机变量分布列的两个性质.

超几何分布

1.理解超几何分布及其导出过程.

2.能对超几何分布进行简单的应用.

3.通过实例,体会超几何分布是应用广泛的重要分布类.

1.通过实例(如彩票抽奖等)导出超几何分布,让学生观察其规律,并将此规律推广到一般情况.

2.注意解释超几何分布的引入背景以及随机变量的取值范围.

3.通过一定的练习,加深对超几何分布的理解,体会数学模型化思想.

二项分布

1.了解条件概率的概念,了解条件概率的公式,并能解决一些简单的实际问题.

2.了解两个事件相互独立的概念,并能利用事件的独立性计算随机事件的概率.

3.理解n次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一些简单的实际问题.

4.通过学习,渗透数学应用意识和创新意识,能对现实世界中蕴涵的一些数学模型作出判断.

1.通过具体问题创设情境引入新课,用设置问题串的形式,引导学生通过探究体会条件概率的含义,进而抽象概括出条件概率的定义.例题教学中,应讲清条件概率的计算方法.

2.先通过实例给出两个事件相互独立的直观解释,再通过条件概率的实例分析,导出两个事件相互独立的概念.

3.根据由特殊到一般的思维方式,可通过两次、三次独立重复试验的实例,分析归纳次独立重复试验的模型,进而得出二项分布的概念,导出服从二项分布的随机变量的概率计算公式.

4.通过实例比较二项分布与超几何分布的异同点,分清两种分布的本质特征.

离散型随机变量的均值与方差

1.理解取有限值的离散型随机变量的均值、方差的概念.

2.会根据离散型随机变量的分布列,求出均值、方差,并能解决一些实际问题.

1.通过实际问题引导学生理解取有限值的离散型随机变量均值概念,注意比较随机变量的均值与样本平均数的联系与区别.在例题教学中,应注意分析每道例题的实际背景与含义.

2.通过实例探究,引导学生思考在两个随机变量均值相同的条件下,如何刻画它们的差异.引导学生通过类比样本方差的概念,引入取有限值的离散型随机变量方差的概念.

3.教学中可以补充随机变量均值的线性性质:

②若服从两点分布,则

③若,则
4.教学中可以补充随机变量方差的性质:

②若服从两点分布,则

③若,则

正态分布

1.认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.

2.了解正态分布的主要性质.

3.在解决实际问题的过程中,体会数形结合思想的作用.

1.通过实例或用计算机模拟试验,引导学生认识正态分布,了解正态曲线的特点.

2.在教学中可应用数学软件了解正态分布曲线随着的改变而变化的规律,可以补充介绍正态密度函数中的参数的含义,了解标准正态总体在指定区间内取值的概率.

3.利用指数函数的性质帮助学生初步了解正态分布密度函数的性质.

独立性检验

1.了解分类变量,会列两个独立分类变量(只要求2×2)的列联表.

2.根据列联表,会用三维柱形图或二维条形图判断两个分类变量的相关性.

3.会根据列联表数据计算的观测值,并能根据观测值判断两个分类变量相关性.

4.了解独立性检验的基本思想,能用独立性检验的基本思想、方法解决一些实际问题.

1.通过对“肺癌与吸烟有关吗”等实例的分析,总结得出独立性检验的思想,引导学生体会独立性检验的基本思路,会用类比的思想方法得出独立性检验的基本步骤.重点是了解独立性检验的思想方法,对其理论基础不做要求.

2.选择实际的、学生感兴趣的、能反映统计方法的典型案例,组织学生就如何解决案例中的问题展开讨论,以激发学生的学习兴趣.并在对列联表数据处理的过程中,培养学生数据处理的能力.

3.独立性检验的基本思想对学生来说是比较陌生的,教师不宜采取直接介绍的方法,应通过让学生模仿应用的教学方式,学生自己设计解决问题的方案,并通过交流和引导使学生认识到所学方法的基本思想.

4.通过对独立性检验的基本思想、方法的学习,让学生对统计思维和确定思维的差异有一定的理解.

实际推断原理和假设检验

1.了解实际推断原理的基本思想.

2.了解假设检验的基本思想,能用假设检验的基本思想、方法解决一些实际问题.

3.通过案例学习,提高统计推断能力,感受统计在现实生活中的应用,体会假设检验的思维方法.

1.通过具体的实例,使学生认识到试验和抽样是检验的重要手段.在案例教学中,应鼓励学生运用试验、理论分析的方法,借助生活经验,初步体会实际推断原理的基本思想.

2.列举生活中的事例,使学生体会“小概率”是相对的,需要根据实际情况确定,并认识到统计推断是可能犯错误的.

3.由于假设检验思想理解起来比较困难,教学中要尽可能多举些案例(如“质量控制”、“新药是否有效”等),将假设检验的原理与反证法的原理进行类比,让学生在案例的学习中体会假设检验的思想方法.对假设检验的理论基础不作要求.

回归分析

1.能根据给出的数据画出散点图,并能根据散点图判断变量之间的相关关系.

2.根据散点图的分布情况,会确定回归模型的类型,会求回归方程.

3.了解使用不同模型回归分析的拟合效果.

4.能用回归的基本思想、方法解决一些实际问题.

1.以“人的体重与身高的关系”等典型案例为教学载体,通过案例的探究,归纳回归分析的基本思想、方法,避免抽象介绍回归分析的思想、方法.

2.让学生积极主动地参与案例探究,根据散点图的分布情况,确定回归模型的类型,探求对相关程度进行检验的统计量(相关系数),从而建立回归分析的基本算法步骤(对相关系数可以估计相关程度的原因只要求从直观上加以感受,不必介绍理论依据).

3.让学生经历数据处理过程,增强学生对数据的直观感觉,从而了解回归分析的基本思想及其对决策的作用,对于理论基础不作要求.应避免学生单纯记忆和机械套用公式,鼓励学生使用现代技术手段来处理数据.

 

 

选修4-1  几何证明选讲

本专题从相似图形的性质入手,证明一些反映圆与直线关系的重要定理,并通过对圆锥曲线性质的进一步探索,提高学生空间想象能力、几何直观能力和运用综合几何方法解决问题的能力.

在几何证明的过程中,不仅是逻辑演绎的程序,它还包含着大量的观察、探索、发现的创造性过程.有助于培养学生的逻辑推理能力.

本专题的教学中,要注重知识的系统性与逻辑性.在知识的教学中要渗透数学思想方法,包括特殊化思想、转化与化归思想、分类与整合思想、运动变化思想,以及观察、实验、猜想等方法,也涉及直接法、反证法、同一法等逻辑推理的方法.本专题还要突出知识的探究与发现,使学生在经历知识的产生过程中去认识对象和建构知识.

内容标准

学习要求

教学建议

相似三角形的判定及性质

1.了解平行线等分线段定理.

2.了解平行线分线段成比例定理.

3.理解相似三角形的定义和性质.

4.会证明两个三角形相似.

1.在平行线等分线段定理的教学中,可通过较多的实例,采用“操作确认”的方法,让学生观察、测量后发现结论.

2.在引导学生体验相似三角形判定及性质的探究过程中,让学生充分感受和体会蕴涵在知识与探究过程中的数学思想(包括特殊与一般思想等),感知合情推理在数学发现中的作用.

3.通过本节课教学,使学生体会数学证明的必要性和重要性.

4.本节课涉及的定理多,教学中要向学生展示解决问题的思维过程,让学生体验“研究问题”的过程,领悟其中的思维方式.

直角三角形的射影定理

 

会证明并应用直角三角形的射影定理.

1.可从学生的生活经验出发,让学生借助直观,感知射影的概念,但要注意多给出几种图形变式,消除学生把正射影理解为只是由一点向水平面引垂直的特殊情形.

2.教学的重点在于引导学生思考在给定的图形中,“可以研究哪些问题”和“如何研究这些问题”上.对于教材中引入部分提出的探究问题,要对如何探索“线段的关系”进行引导,使学生明确探索的方向,然后让学生自行探索,避免由于问题的过度开放性导致学生探究的盲目性.

圆周角定理和圆心角定理

会证明并应用圆周角定理和圆心角定理.

在圆周角定理的证明中,要引导学生分析推理思路,体会分类与整合思想的运用.

圆内接四边形的性质与判定定理

会证明并应用圆内接四边形的性质与判定定理.

1.圆内接四边形的性质可以采用从特殊到一般的方法,先引导学生观察圆内接四边形是正方形或矩形的情形,再测量一般情形的圆内接四边形,然后猜想“圆内接四边形的对角互补”,再通过严格的推理论证得到两个性质定理.

2.圆内接四边形判定定理证明的教学中,要突出分类与整合思想和反证法的运用.

圆的切线的性质及判定定理

会证明并应用圆的切线的性质(包括弦切角定理)及判定定理.

1.可以先复习直线与圆的三种位置关系,以及过一个定点(点在圆上、点在圆外)作圆的切线的方法.

2.弦切角定理的引入,可借助于几何画板等现代信息技术手段引导学生由“圆内接四边形的外角等于它的内角的对角”去猜想“弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角”.

3.弦切角定理的证明的教学过程中,要突出分类与整合思想、特殊与一般思想以及化归与转化思想.

与圆有关的比例线段

会证明并应用相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理.

1.可借助几何画板等现代信息技术手段引导学生通过观察图形变化,从而发现有关定理.

2.教学中要揭示有关定理的内在联系,引导学生注重数学知识的系统性与逻辑性.

3.教学中要突出运动变化思想,引导学生在运动变化中找“不变性”或“不变量”,感知运动变化的奇妙,欣赏数学内在的美.

平面与圆柱面的截线

1.了解平行投影的含义.

2.会证平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情形是圆).

1.教学中可借助于圆柱与平面的位置关系,让学生体会平行投影.

2.教学中要突出由平面图形向立体图形的过渡,在讲完立体图形的性质后又应当回到平面图形,将两者对照,使学生理解两者的关系.

3.教学中可借助信息技术,使学生充分体验探究过程.

平面与圆锥柱面的截线

1.体会下面定理:

在空间中,取直线l为轴,直线l′与l相交于O点,其夹角为α, l′围绕l旋转得到以O为顶点,l′为母线的圆锥面,任取平面π,若它与轴l交角为β(π与l平行,记β=0),则:

①β>α,平面π与圆锥的交线为椭圆;

②β=α,平面π与圆锥的交线为抛物线;

③β<α,平面π与圆锥的交线为双曲线.

2.会利用丹迪林(Dandelin)双球证明上述定理①的情形.

1.教学中可借助信息技术,动态地展现Dandelin两球的方法,帮助学生利用几何直观进行思维,使学生体会空间想象能力和几何直观能力在解决问题中的作用,提高学生综合运用几何知识解决问题的能力.

2.教学中应鼓励学生独立思考,主动尝试、探索,必要时要给予适当的指导,并应鼓励学生写出课题报告,尽可能清晰地表达自己的思考过程与论证过程.

 

选修4-4

本专题是解析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合应用和进一步深化.

坐标系是解析几何的基础.在坐标系中,可以用有序实数组确定点的位置,进而用方程刻画几何图形.极坐标系、柱坐标系、球坐标系等是与直角坐标系不同的坐标系,对于有些几何图形,选用这些坐标系可以使建立的方程更加简单.

    参数方程是以参变量为中介来表示曲线的方程,是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式.某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便,学习参数方程有助于学生进一步体会解决问题中数学方法的灵活多变.

    极坐标系和参数方程是本专题的重点内容.学生将掌握极坐标和参数方程的基本概念,了解曲线的多种表现形式,体会从实际问题中抽象出数学问题的过程,培养探究数学问题的兴趣和能力,体会数学在实际中的应用价值,提高应用意识和实践能力.

内容标准

学习要求

教学建议

平面直角坐标系

1.回顾直角坐标系的 有关概念,体会坐标系的作用,了解建立直角坐标系的方法和原则.

2.了解在平面直角坐标系中伸缩变换作用下平面图形的变化情况.

1.通过学生熟悉的实例引导他们尝试建立坐标系,进一步体会在用方程刻画平面图形时选择适当直角坐标系的意义.

2.认识建立坐标系是实现几何图形与代数形式互相转化的基础,通过实例使学生了解建立坐标系的基本原则,明确点和坐标之间的一一对应关系,体会对应思想,激发学生的发散思维和创新意识.

3.在学习平面直角坐标系中的伸缩变换时,可通过从学生已有的知识入手,以平面直角坐标系中的平移变换作铺垫,再类比归纳出伸缩变换.

4.让学生体会伸缩变换是可逆的,其逆变换也是伸缩变换.但此内容只要求学生了解,不必提高教学要求.

简单曲线的极坐标方程

 

1.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.

2.会根据一些简单问题的几何特征,选择适当的坐标系建立曲线方程,体会坐标法思想.

1.通过模仿、类比和探索三个阶段来引导学生学习简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的极坐标方程.在引入极坐标系时,可通过学生熟悉的实例,说明引入极坐标的必要性,从中领略知识的发生与发展过程,解决认知上的困难.

2.在学生理解极坐标概念的基础上,体会不同坐标系中有序数组(坐标)所体现的不同几何含义,同一几何图形在不同坐标系中的方程具有不同的形式,从而体会选择适当坐标系的重要性和必要性,领会坐标法,进一步强化数形结合的思想.

3.充分利用ρθ的几何意义解决在直角坐标方程下不易解决的问题,体现极坐标方程在某些情景下的解题优势。

4.本专题只介绍了特殊的圆与直线的极坐标方程,对圆锥曲线的极坐标方程不作要求.极坐标的多值性不要过多讨论,同时,对求出的极坐标方程是不是曲线的极坐标方程也不要求证明.

极坐标和直角坐标的互化

 

能进行极坐标和直角坐标的互化,体会数学知识的相互联系.

1.在进行“极坐标方程与直角坐标方程的互化”的教学时,应重点强调,它是在极点与直角坐标系原点、极轴与直角坐标系轴正半轴重合的条件下进行的.

2.教学中应注重培养学生运用数形结合思想、等价转化思想分析、解决问题的能力.

柱坐标系与球坐标系

1.了解用柱坐标系、球坐标系刻画空间中点的位置的方法.

2.在与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法的比较中,体会它们的区别,感受选用不同坐标系的益处.

1.柱坐标系、球坐标系是平面上极坐标系在三维空间的推广,只要求了解它们刻画空间中点的位置的方法,进一步完善坐标系概念,体会不同坐标系的特点,认识到坐标法思想有更广阔的应用空间,教学时不必扩充.

2.让学生理解平面和空间中点的位置都可以用有序数组(坐标)来刻画,体会选择适当的坐标系可以使表示图形的方程具有更简单的形式.

参数方程的

概念

1.了解参数方程的概念,体会参数的意义;了解曲线的多种表现形式.

2.会根据直线、圆和圆锥曲线的几何性质,选择适当的参数写出它们的参数方程.

1.通过对具体实例(如抛物运动中时间与运动物体位置的关系)的分析,引入参数方程,使学生了解参数的几何意义或物理意义,突出参数方程在解决复杂运动问题中的作用,体会引入参数的必要性.

2.应让学生认识参数方程是以参变量为中介来表示曲线的方程,是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式,让学生知道参数方程的一般形式,明确是参变量,都是的函数.懂得某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便.

3.通过分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质,选择适当的参数写出它们的参数方程,从中认识求参数方程的关键是参数的合理选择,进一步体会问题解决中数学方法的多样性.

参数方程与普通方程的互化

 

1.会把一些参数方程和普通方程进行互化.

2.在对某些参数方程与普通方程进行互化中体会辩证统一的哲学思想.

1.让学生认识到曲线的参数方程和普通方程是表示曲线方程的两种不同形式,它们可以互相转化,培养学生辩证唯物主义观点.

2.参数方程化为普通方程的过程,就是消去参数的过程,在进行“参数方程与普通方程的互化”的教学时,应帮助学生掌握常见的消参方法.

3.在学生逐步认识理解曲线的参数方程的基础上,通过实例,及时指出参数方程中参变量的取值范围对曲线的影响,说明参数方程与普通方程的互化过程中,要注意参数的取值范围,以保证消参前后的等价性,从中培养学生等价转化的思想.

4.由于许多参数方程的消参过程比较困难,教学时,只要求能进行简单的参数方程与普通方程的互化即可,不应随意拔高要求.

参数方程的

应用

 

1.认识某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便,感受参数方程在解决问题中的优越性.

2.会从质点运动等简单实际问题中抽象出数学问题,建立数学模型,求质点的参数方程,进而解决简单的相关问题,提高分析、解决问题的能力.

1.本专题的知识与三角函数、圆锥曲线、向量等知识有着必然的联系,教学时应引导学生多体会、多思考这种联系,从参数方程角度对它们进行重新认识,学习借助参数研究曲线的方法,进一步探讨参数方程的实际应用.

2.要重视问题的知识背景,通过学生比较熟悉的问题让学生观察、分析、思考、交流,引导他们通过参与解题过程的探索,使教学过程既成为学生学习新知识的过程,同时也成为已学知识的提升过程.

3.充分利用参数方程的几何意义解决在普通方程下不易解决的问题,体现参数方程在某些情景下的解题优势。

4.通过实例让学生认识含有参数的方程与参数方程是不同的.含参数的普通方程中参数的变化,使得方程刻画的图象整个地变化,几何含义是符合特定条件的曲线族;而参数方程中参数的变化,使得曲线上点的坐标发生变化,形成一个点集,几何含义是符合特定条件的点集,代表一曲线.

参数方程中曲线的欣赏

1.了解平摆线、渐开线的生成过程,并能推导它们的参数方程.

2.利用多媒体探讨运动轨迹的生成过程,感受摆线、渐开线等在曲线研究中的重要地位.

3.在欣赏曲线美的过程中提高审美能力.

1.针对本专题的许多内容便于运用信息技术进行教学的特点,可借助与信息技术整合进行教学.

2.通过教具或计算机软件的展示,让学生观察、思考,启发、引导他们推导并得到平摆线、渐开线的参数方程,使学生感受这些曲线的美,进而了解其它摆线的生成过程,让学生进一步了解参数方程在实际中的应用.

3.利用阅读以及组织学生查阅资料等多种形式指导学生开展探究活动,在活动中让学生了解摆线在实际中应用的实例,了解摆线在刻画行星运动轨道中的作用,从中体会参数方程在解决实际问题中的广泛应用.

选修4-5

在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系,不等关系和相等关系是基本的数学关系,它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用.

本专题将介绍一些重要的不等式和它们的证明、数学归纳法和它的简单应用.本专题特别强调不等式及其证明的几何意义与背景,以加深学生对这些不等式的数学本质的理解,提高学生的逻辑思维能力和分析、解决问题的能力.

内容标准

学习要求

教学建议

绝对值不等式

1.理解绝对值不等式的几何意义及取等号的条件,并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式:

(1)

(2)

2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|ax+b|≤c、|ax+b|≥c、|x-c|+|x-b|≥a,并体会其中所蕴涵的分类整合思想、数形结合思想以及化归与转化思想.

3.会用绝对值不等式证明一些简单问题.

4.通过对不等式的几何意义及其背景的探究,加深对不等式的数学本质的理解,提高逻辑思维能力和分析问题能力.

1.绝对值的定义及几何意义是研究含有绝对值问题的理论依据,应引导学生复习绝对值的定义及几何意义.

2.通过对几何背景的分析,使学生加深对绝对值不等式的理解.

3.求解含有绝对值的不等式问题的常见方法有:定义法、几何法等,定义法是通法,是重点,但较繁;几何法较简单,但只适用于特殊的类型.教学中应注重通性通法,即定义法.

4.在求解以下类型的不等式:

 中,只要求字母系数是常数的.

5.在不等式的教学中,注意把握分类讨论的度,不宜太繁.

柯西不等式

1.认识柯西不等式的几种不同形式,并理解它们的几何意义.

(1)证明:柯西不等式向量形式:

(2)证明:(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2

(3)证明:

 (通常称作平面三角不等式).

2. 用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况:

   

3.能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值.

1.柯西不等式有二维形式与一般形式,考虑到中学生数学学习的实际情况以及当前课程改革的基本理念,柯西不等式的呈现不宜过难,应以二维形式为主,即重点研究及其简单应用,淡化过于技巧化的式的变换.

2.对大多数学习不等式的学生来说,常常很难从复杂的变换中看到数学的本质,对他们更为重要的是理解这些不等式的数学思想和背景.所以,教学重点应放在柯西不等式的几何解释、向量背景以及实际应用,而不是形式的记忆和生搬硬套.要注意,不等式证明中,几何法不是通法,它的作用是帮助学生理解不等式的本质.

3.利用平均值不等式求函数的极值是必修5不等式内容的继续,是一个螺旋上升的过程;利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值的技巧性很强,让学生构造时,要注意度的把握.

用向量递归方法讨论排序不等式.

1.了解排序不等式

2.会用“向量递归方法”讨论这一不等式成立的事实.

1.排序不等式的证明一般可以采用“逐步调整法”进行,但课标对“逐步调整法”不作要求,只要求会用“向量递归方法”讨论这一不等式成立的事实.

2.排序不等式是应用范围比较广泛的不等式,建议利用排序不等式来证明柯西不等式.

贝努利不等式

1.会用数学归纳法证明贝努利不等式:

2.了解贝努利不等式,了解当且 n 是实数时贝努利不等式也成立.

贝努利不等式作为数学归纳法的一个简单应用,教学中做到了解即可,不必拓展、拔高.

证明不等式的基本方法

1.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.

2.通过不等式证明,逐步提高推理论证能力和抽象概括能力,进一步加深对不等关系和不等式的理解.

1.比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等,是证明不等式的常用方法,其重点是比较法、综合法、分析法.

2.放缩法的技巧性很强,是教学的难点.在很多情况下,放缩法需要一些前人为我们创造的技巧,这对于专门从事某些数学领域研究的人们掌握这些技巧是极为重要的,但对于平时的教学,不应在恒等变换的难度,特别是技巧上作更多的要求,不应使不等式的教学陷入过于形式化、复杂化的恒等变换的技巧之中.

3.不等式的证明方法主要是通过典型例题来说明的,教师在教学中要注意例题安排要由易到难,由简单到综合,层层深入,启发学生理解各种证法的意义和逻辑关系.通过一题多法和多变挖掘各种方法的内在联系,对知识进行拓展、延伸,使学生沟通知识联系,有效地提高解题能力.

四、实施建议

(一) 教学建议

1.重视基础教学,落实单元过关

随着时代和数学的发展,高中数学的基础知识和基本技能也在发生变化.教师要用新的观点审视基础知识和基本技能,帮助学生理解和掌握基础知识、基本技能和基本思想,积累基本活动经验.对核心概念和基本思想,要强调真正理解和掌握,应通过典型例子的分析,引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程,让学生理解数学基本概念与结论的来龙去脉,体会蕴涵其中的思想方法;要在整个高中数学的教学中螺旋上升,让学生多次接触,不断加深认识和理解;要重视运算、作图、推理、数据处理、科学计算器和计算机的使用等基本技能训练,并通过数学探究活动积累数学活动经验.

要从整个课程上来把握和理解模块教学,及时进行模块教学内容的整合和总结,让学生认识知识之间的相互联系,形成知识网络;要通过必要的训练、检查和个别辅导,及时解决学习中的薄弱点,使学生通过每个模块的学习,扎实基础、形成能力.

2.提高思维能力,发展应用意识

数学教育的基本目标之一是发展学生的思维能力.在数学教学中,要精心设计教学过程,让学生不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与构建等思维过程;要引导学生发现问题、提出问题、主动探究、解决问题、回顾反思,使学生养成良好的思维习惯,获得思维能力的整体发展.

在教学过程中,要积极开展“数学探究”、“数学建模”等活动.要通过丰富的背景引入数学内容,在获取数学问题后,要及时引导学生运用数学知识去分析、解决问题,使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其它学科的联系,促进学生逐步形成和发展数学应用意识.

3.挖掘教育价值,提高数学素养

高中数学教学在传授知识的同时,要揭示相应的数学思想,要注重能力的培养、思维的养成、文化的熏陶以及素养的提升,要充分挖掘高中数学各分支的教育价值,实现教学目标的多元化,促进学生的全面发展.

通过函数与导数的学习,应当让学生学会以运动变化的观点看待数学,学会在运动变化中把握事物——以“静”识“动”, “动”中求“静”;了解事物是运动变化的,运动变化是有规律的,初步树立辩证唯物主义的运动变化观.

通过三角函数的学习,应当让学生进一步加深对函数的理解,体会三角函数是刻画事物周期变化的重要模型;通过对三角恒等变形的学习,体会问题表现形式的多样性与统一性;通过对解三角形的学习,深化对普遍联系的认识.

通过数列的学习,应当让学生在利用函数研究数列问题中,体会特殊与一般思想,学会利用特殊与一般的辩证关系认识事物;通过利用基本量法解决等差、等比数列的有关问题,体会基本量思想,学会用基本量思想(抓住主要矛盾)处理问题.

通过解析几何的学习,应当让学生通过坐标法下几何与代数统一性的认识,建立普遍联系的辩证观;在运用代数方法研究几何问题的过程中,体会数形结合思想,拓展分析、解决问题的视野.

通过立体几何的学习,应当培养、发展学生的空间想象能力,并在初中学习平面几何的基础上进一步完善公理化思想,发展推理论证能力.

通过统计与概率的学习,应当让学生区别统计思维与确定性思维的差异,体会必然与或然的辩证关系,学会从或然现象中把握必然规律;建立统计观念,形成用样本估计总体的思想思考、解决问题的习惯.

总之,教学中应当充分挖掘各分支的教育价值,使学生体会蕴含其中的数学思想方法,从而提高学生的数学素养.

4.改善教学方式,促进主动学习

在高中数学教学过程中,应当充分体现以学生发展为本的教学理念,要注重课堂教学方式创新,关注学生的主体参与,改变以讲授、机械训练为主的单一教学模式,为学生提供充分从事数学活动的时间与空间,丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法.

学生的数学学习活动应在阅读自学、独立思考、自主探索、动手实践、合作交流的气氛中进行.教师要精心设计问题情境,选择合适的策略,促进学生主动提出问题,经历观察、猜想、概括、推理等数学活动,使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”、“再发现”过程,加深对数学的理解,发展学生的创新意识.

5.关注个体差异,增强学习信心

教师要了解并尊重学生的个体差异,鼓励与提倡解决问题策略的多样化.在每个教学环节上要充分考虑学生的需求,根据学生的不同水平、不同志趣和发展方向给予具体指导,尽可能满足不同学生的学习需要,让不同的学生学习不同的数学,在数学上获得不同的发展.

要引导学生初步了解数学科学与人类社会之间的相互作用,体会数学的价值,崇尚数学的理性精神.通过数学问题的提出、解决过程,帮助学生养成良好的学习习惯,形成积极探索的科学态度.

要注重培养学生学习数学的兴趣,帮助学生获得成功,增强学生学好数学的愿望,从而树立学好数学的信心.

(二) 评价建议

基础教育课程评价体系在基础教育中起着导向和质量监控的重要作用。建立体现现代教育思想的评价体系是提高数学教育质量的有力保障。数学教学评价的构建应着眼于目标多元化、评价主体和评价手段多样化,既发挥甄别与选拔功能,更突出激励与发展功能。

数学教学评价应有利于营造良好的育人环境,有利于数学教与学活动过程的调控,有利于学生和教师的共同成长。对于学生的学的评价,要遵循发展性评价理念,建立促进学生全面发展的多元评价目标;要关注学生数学学习水平的提高,也要关注他们在数学活动中所表现出来的情感、态度和价值观的变化。

1.学生学习过程的评价

(1)重视对学生的数学基础的评价。在进行学习评价时,要注重评价学生对数学本质的理解、对数学思想方法的掌握以及运用数学的基本方法解决问题等方面,避免片面强调机械记忆、模仿;要注重评价学生基本数学思维的发展水平,避免过分强调技巧;要注重评价学生基本数学能力与创新意识的发展水平,避免过分强调繁、难、偏的数学问题 。

(2)重视对学生的数学能力的评价。对学生数学能力的评价应关注学生发现问题和通过抽象概括提出问题的能力;关注学生学会数学思考,树立以数学核心素养为导向的应用意识与创新意识,发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等数学核心素养;关注学生有效收集信息和分析问题、解决问题的能力;关注学生的数学表达与交流能力。

(3)重视对学生数学学习过程的评价。对高中学生进行数学学习评价,既要重视学习的结果,也要重视学习过程。对数学学习过程的评价要从学生数学认知的发展水平与学生的情感、态度、价值观的转变等多个角度进行。在数学学习过程中,要关注学生经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与构建等过程的评价;要关注学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题、回顾反思等过程的评价。在数学探究、数学建模等活动中,要注重评价学生的探究能力与创新意识的发展水平。

(4)重视促进学生发展的多元化评价。高中数学学习评价主体、评价方式、内容和目标都应是多元化的。提倡建立教师、学生自我、同学、家长等共同组成的评价主体,从不同侧面对学生进行全面的评价;提倡采用口试、笔试、活动报告、论文撰写、作品展示以及参加社会实践等多种方式进行评价;提倡对不同的学习内容、不同选择的学生采取多元化、开放性的评价标准,定性评价与定量评价相结合,鼓励学生根据自己的兴趣、爱好进行选择。在进行多元化评价时,要避免简单的“平均”与“累加”等操作方式,充分体现学生的个性特长,增强学生进一步学习数学的动力。

(5)高中数学模块学习过程性评价量表:

高中数学模块学习过程性评价量表

模块:                     

年级       班级       学号           姓名          

 

评价

项目

评价内容

自我评价

小组评价

A

B

C

D

A

B

C

D

学习

态度

1.学习目标明确,重视学习过程的反思,积极优化学习方法

2.逐步形成浓厚的数学学习兴趣

3.保质保量按时完成作业

4.重视自主探索、自主学习,拓展视野

 

 

 

 

 

 

 

 

参与

程度

1.认真参加数学学习活动,积极思考,善于发现问题,勇于解决问题

2.逐步提高数学表达与交流能力

3.积极参加数学探究、数学建模活动,加强数学文化的学习

4.积极撰写数学小论文、活动报告,参加数学实践活动等

 

 

 

 

 

 

 

 

合作

意识

1.积极参加数学合作学习,勇于接受任务、敢于承担责任

2.加强小组合作,取长补短,共同提高

3.乐于助人,积极帮助学习有困难的同学

4.公平、公正地进行自评和互评,评价过程认真、负责、有诚信

 

 

 

 

 

 

 

 

探究

活动

1.积极尝试、体验数学研究的过程

2.逐步形成严谨的科学态度,不怕困难的科学精神

3.勇于质疑,善于反思,有创新意识

4.善于观察分析数学事实,提出有意义的数学问题,猜测、探求适当的数学结论和规律,给出解释和证明,撰写探究活动报告

 

 

 

 

 

 

 

 

建模

活动

1.认真观察数学与日常生活和其他学科的联系

2.积极体验数学在解决实际问题中的价值和作用

3.自觉养成应用数学知识解决实际问题的意识,增强综合应用能力

4.积极查询资料,认真分析数据,撰写建模活动报告

 

 

 

 

 

 

 

 

其他

情感、态度、价值观的转变

 

 

 

 

 

 

 

 

数学认知水平的发展

 

 

 

 

 

 

 

 

出勤

情况

 

单元

测验

 

模块

测验

 

综合

评价

小组评价等级

 

任课教师

评价等级

 

考评组

评价等级

 

 

组长签名

 

               

任课教师

签名

 

         

考评组

组长签名

 

                           

备注:A:优秀,B:良好,C:一般,D:有待改进。

2.形成性评价与终结性评价

形成性评价指在活动运行的过程中,为更好地达到活动目的,而不断对自身的过程进行评估、修正的行为;终结性评价指的是在教育活动结束后为判断其效果而进行的评价。在数学教学中,要关注形成性评价和终结性评价的有机结合。

重视形成性评价是现代教育评价的发展趋势,当一节课、一个单元教学结束后,都要及时安排课时练习和单元测验,了解把握本节课或本单元的教学状态,并根据学生成绩对教学情况进行分析、评价和判断,力求有目的、有计划地开展形成性评价活动,以促进教学质量的提高。终结性评价的重要功能,就是确认达到目标的状态。一个模块或一个学期、学年的教学结束后,对最终效果所进行的评价,都可以说是终结性评价。终结性评价是一个相对概念,一个单元教学结束后的测验相对于这个单元来说是终结性评价,但相对于整个模块或整个学期的教学来说,又发挥着形成性评价的功能。

在形成性评价和终结性评价中,要注意以下几点:

(1)重视形成性评价和终结性评价的合理性。形成性评价和终结性评价的学业测验和评价要根据课程标准确定待测的内容,并对它进行精确的定义和描述,设计出能有效评价学习成果或表现的测验题目或评价任务。在设计测验和评价时,还要考虑题目和任务样本能否代表整个评价范围,以及重要目标是否得到应有的强调。

(2)重视形成性评价和终结性评价的科学性。制定评价问题应该从学生的角度来审视题目,检查分析题目的任务和质量。要检查所设计的题目形式是否适合要测量的学习结果;由题目引发的知识理解和思维技能,是否与具体的学习结果及要测量的学科内容相匹配;设计的题目和任务的表述是否清楚;设计的题目的答案和评价标准是否没有争议;等等。

(3)重视形成性评价和终结性评价的有效实施。在教学过程中,要每一单元、每一模块进行有效的检查,及时了解每一单元、每一模块教育价值的达成度,以及学生核心数学素养的发展情况。

高一、二学段要确保三个过关。课时过关——每一课时结束后,要根据《普通高中数学课程标准》的要求布置所有学生通过努力可以完成的基础性课时作业,落实每个知识点的过关,还要布置适量的发展性课时作业,让学有余力的学生施展才华;单元过关——每个单元结束后,要组织单元评价,检查学生对基础知识、基本技能及学科能力的过关情况,并及时补缺补漏;模块过关——每个模块结束后,要对模块内容进行系统的总结,组织模块检测,全面检查学生综合应用相关知识解决问题的能力,检查学生对相关数学思想方法的掌握情况,将终结性评价与形成性评价有机结合。

高三学段要实现三落实:落实课时作业、落实单元检测、落实综合测验。在单元检测和综合测验中既要重视基础知识和基本技能的考查,也要重视学科能力和思想方法考查;既要重视一般问题的考查,也要重视创新问题的考查;既要重视知识的简单应用,也要重视知识的综合应用和实际应用;要重视多个知识点间的交融交汇,重视通性通法,充分发挥单元过关检测和综合测验的评价功能。

3.学分的认定

(1)学生完成10个学分的必修课程,在数学上达到高中毕业要求。

(2)在完成10个必修学分的基础上,希望在人文、社会科学等方面发展的学生,可以有两种选择。一种是,在选修系列1中学习选修1-1和选修1-2,获得4学分;在系列3中选修的2个专题,获得2学分;在系列4中的4-1几何证明选讲、4-4坐标系与参数方程、4-5不等式选讲等3个专题中,任选2个专题,获得2学分,共获得18学分。另一种是,如果学生对数学有兴趣,并且希望获得较高数学素养,除了按上面的要求获得18学分,同时在系列4中再选修四个专题,获得4学分,总共获得22学分。

(3)希望在理工(包括部分经济类)等方面发展的学生,在完成10个必修学分的基础上,可以有两种选择。一种是,学习选修系列2中学习选修2-1,2-2和2-3,获得6学分;在选修系列3 中任意选修2个专题,获得2学分;在系列4中的4-1几何证明选讲、4-4坐标系与参数方程、4-5不等式选讲等3个专题中,任选2个专题,获得2学分,共获得20学分。另一种是,如果学生对数学有兴趣、希望获得较高数学素养,除了按上面的要求获得20学分,同时在选修系列4中再选修四个专题,获得4个学分,总共获得24学分。

(4)建议模块学分的认定应以高中数学模块学习过程性评价量表为依据,评价量表各个细目的权重可以由各个地区或学校具体制订,考评组评价等级为A、B、C的均可以获得该模块的学分。

(5)模块学习结束,建议分发“模块学习学分报告单”给学生,该报告单将可以成为学生成长记录的一部分。

附:模块学习学分报告单

数学模块学习学分报告单

模块:                    姓名:                学号:                   

项目

考评组综合评语

模块测验

成绩

 

 

 

 

 

 

 

年   月   日

任课教师

评价等级

 

考评组

评价等级

 

获得

学分情况

 

五、 总复习建议

根据教育部考试中心制定的《考试大纲》、《考试说明》,参照全国课标(I)卷在考试内容及要求、试卷的呈现方式、试题的难度等方面的特点,特提出如下高三备考复习建议。

(一)关注复习策略的优化

高三总复习教学与新课教学存在着差异,在复习教学中,要重视分析学情,准确把握考试要求,优化复习策略。

1.严格按照国家《考试大纲》和《考试说明》的内容和要求进行科学备考。高三复习在回归课本的基础上应对知识进行更高层次的抽象和概括,不超纲,不删减,不随意拔高或降低难度,以提升复习的针对性与有效性。

2.认真研究试题特点,适时调整练习的难度与梯度。对于基础知识、基本方法,应重面、抓点、连线,适时研究每个知识点的高考试题特点、专题基本类型、解题基本策略,加强章、节知识过关,夯实基础,加强学生对数学基础知识、方法的理解和掌握。要认真选用复习材料,及时调整适应性练习的难度及梯度结构,编制的试题针对性要强,要关注“中档题”的训练,合理把握“压轴题”的难度。

3.关注学生的心理疏导,培养良好的学习习惯。要充分调动学生的主观能动性,重视学生良好学习习惯的养成,培养学生良好的个性品质,帮助学生克服数学学习的恐惧心理,树立学好数学、积极迎考的信心。

(二)重视基础知识的复习

对基础知识的复习,应以数学知识的横向联系和纵向联系为主线,对模块内容加以整合,将分散的知识点串联起来,帮助学生重新梳理知识,完善知识的整合与重组,构建良序的知识网络,优化认知结构。应精选例题和习题,避免“题海战术”,重视查缺补漏,将复习过程转化为学生不断提出问题、解决问题的探索过程,引导学生主动对知识、方法进行归纳、概括,达到举一反三、融会贯通的效果,真正提高数学复习的实效性。

1.函数是高中数学极为重要的内容,函数思想和方法贯穿高中数学的全过程。函数与导数内容丰富,概念众多,题型多样,综合性较强,在历年高考中都占有较大的比重。国家课标(Ⅰ)卷重视对函数的图象与性质问题的考查,常以初等函数为背景设计综合题和应用题,一般以压轴题的形式出现。函数与导数的复习应突出基础性和综合性,要准确理解概念,掌握通性通法,学会融会贯通,并会利用函数解决某些简单的实际问题。在复习教学中要关注以下几个问题:一是关注函数的图象与性质,包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性、函数的零点、极值、最值等基本内容,强化化归与转化、分类与整合、函数与方程、数形结合等数学思想方法在解题中的作用;二是关注函数与方程、不等式、数列等相结合的综合问题;三是关注实际生活中的应用问题,掌握解决这类题型的一般步骤。要充分发挥导数的工具性作用,尽可能利用导数等知识居高临下地研究函数的性质及图形变化特征。特别要关注导数的几何意义以及性质的内涵,能熟练运用几何意义和性质灵活处理函数问题,如利用导数的几何意义解决与切线有关的问题,运用导数研究函数的单调性、极值和最值以及不等式恒成立时参数的取值范围问题或证明不等式等综合问题。

2.高考对三角函数的考查,题型、题量及难度基本保持稳定,着重考查三角恒等变形,三角函数的图象与性质以及正弦定理、余弦定理的应用等。复习中,一要重视三角函数的定义、图象和性质的研究,特别是形如的函数图象与性质;二要熟练掌握三角公式,关注三角恒等变形;三要重视三角知识的应用,特别是运用正弦定理、余弦定理以及平面几何知识解三角形四要了解以三角知识为素材,考查数学建模和相关的数学思想和方法。复习中应立足基础和中档题,合理控制三角恒等变换的难度,不提倡补充课程标准之外的三角公式。

3.数列是高考的必考点,以基础题、中档题为主,侧重考查等差数列、等比数列的基本概念及基本量的运算等。复习教学中,一要关注与等差、等比数列有关的通项公式、性质、前项和公式的应用,以及特殊数列求和的常用方法:分组求和、裂项相消、错位相减等;二要关注由数列的递推关系求通项公式的几种通法;三要关注数列与函数的关系及数列的简单应用问题。

4.立体几何是考查空间想象能力的重要载体,涉及的问题包括识图与画图、证明与计算等,其中“证明”占较重要的地位。复习中,一要重视对概念内涵与外延的理解,对于定理与有关公式的应用要做到弄清搞透;二要重视“文字语言、图形语言、符号语言”这三种语言之间的互译与转换;三要重视观察能力、归纳能力、空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力的培养;四要重视对典型问题求解的基本思想方法的掌握,做到应用自如,特别是化归与转化思想的掌握与应用;五要关注简单几何体的三视图的识别与判断,关注球与特殊几何体的相切接问题,关注平行、垂直关系的探究以及空间几何体的表面积与体积等空间几何量的计算;六要重视探究与开放问题的训练,加强对条件或结论不完备的情形下的开放性问题的研究;七要强调立体几何解题的“作、证、算、答”的规范和要求。值得注意的是,国家课标(Ⅰ)卷还常出现直棱柱、正棱柱、正棱锥等概念,要引起足够的重视。理科复习中应引导学生正确建系、设点,运用向量的运算研究空间位置关系和角、距离等几何量的计算。

5.解析几何是高考的重要内容之一,国家课标(Ⅰ)卷对这部分内容的考查一般是两小题一大题,解答题基本都是压轴题,常常不给出图形或不给出坐标系,求曲线(或轨迹)的方程,以考查解析几何的基本思想方法。最值问题、参数范围问题、定点定值问题、共线问题、存在性问题,都是解析几何的考查重点。复习时,一要定位准确,突出强调用代数方法研究几何的基本思想,应将分类与整合、数形结合、函数与方程的思想贯穿于教学的始终;二要熟练掌握圆锥曲线的概念和性质,理解直线与圆锥曲线的位置关系,能解决圆锥曲线的简单应用问题;三要重视基础知识和基本技能的训练,讲练结合,学会合理利用曲线的定义和几何性质简化计算,提高运算的准确性、科学性和解题速度;四要适当关注与向量、三角、函数等知识的交汇;五要注重解题策略的归纳,关注待定系数法、换元法和整体处理问题策略的应用。

6.概率与统计主要考查基础知识和基本方法,它往往与实际问题相结合,并注重与其它知识的综合,是高考命制应用题的热点,其中抽样方法、柱状图、频率分布直方图、茎叶图、样本数字特征的计算、古典概型、超几何分布、二项分布、回归分析等在高考中均有出现;理科卷关注对分布列、期望、方差等知识的考查,经常出现以离散型随机变量的分布列与期望、统计图表的识别等知识为主的综合题,着重考查学生应用概率与统计知识解决实际问题的能力。复习教学中,一要重视统计图表的识别、绘制和应用的训练,能从样本数据中提取基本的数字特征,提高灵活运用图表信息作出统计推断和决策的能力;二要准确识别概率模型,正确把握基本事件;三要会正确把握各统计量的含义,能够利用统计量说明问题,会运用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决实际问题;四要关注回归方程的求解与应用,通过典型案例了解独立性检验的基本思想、方法并能简单应用。此外,全国理科卷时有涉及正态分布、条件概率等知识,应引起足够的重视。

7.不等式主要考查不等式的性质、解法,线性规划等,突出不等式的知识在解决实际问题中的应用价值。不等式的性质、解法及基本不等式的应用、线性规划问题等常以选择题或填空题的形式出现,解答题多以不等式为工具,与函数、方程、三角、解析几何等知识交汇,具有一定的灵活性。复习教学中,一要关注不等式的解法,特别是一元二次不等式及含参数的不等式的解法;二要关注运用线性规划求最值问题,准确理解目标函数的几何意义;三要重视基本不等式在解决问题中的应用;四要关注不等式与函数的联系,会构造函数证明不等式。

8.集合与常用逻辑用语是高考的常考点,既有单独考查的试题,又有与其它知识结合在一起考查的试题,题型以选择题和填空题为主。复习中,应重点把握集合间的关系及运算,理解集合中代表元素的含义,注意利用几何直观帮助解题;特别要关注充要条件、命题真假的判断、逻辑联结词、含有一个量词的命题的否定等内容,应侧重对概念的准确理解。

9.复数是高考的常考点,但它占分的比重小且难度不大。复习中应着重把握复数的有关概念及基本运算,关注复数的几何意义。

10.算法初步是高考常考点,但难度不大。复习应以了解算法思想为主线,关注基本算法语句的含义,应以框图语言为重点,顺序、条件和循环等三种逻辑结构的要求应适度,注意控制难度。

11.计数原理在理科卷中也常有考查,一般以选择题或填空题的形式出现。若在解答题中出现,也是以本部分内容为基础,着重考查应用概率统计知识解决实际问题。复习教学中,一要关注以排列组合应用为载体的问题,以此训练学生的抽象概括能力、分析和解决问题的能力;二要关注二项展开式、二项式系数和特定项系数的应用。

12.平面向量是联系代数与几何的重要工具,是高考的常考点,主要包括向量概念、向量运算、向量基本定理及坐标表示、向量应用等。在复习中,一要准确理解和掌握平面向量的几何意义和代数意义,掌握相关概念、公式和定理,理解平面向量的运算及运算律与数的运算及运算律的区别与联系;二要理解向量代数和几何的双重特性,能利用向量的运算来判断共线与垂直等位置关系;三要关注向量与其他知识的综合运用。

(13)推理与证明在高考中常有考查,其中归纳推理和类比推理多以选择题或填空题的形式出现,演绎推理大都出现在解答题中,常结合函数、不等式进行命题。复习教学中,一要关注合情推理和演绎推理的一般方法;二要关注直接证明、间接证明与数列、函数、不等式等的综合应用。

13.选考内容的复习要控制难度。

《几何证明选讲》着重考查与圆相关的问题、图形的变换、计算与证明等。复习中,要关注平面几何的证明方法;关注与圆有关的证明问题,特别是圆内接四边形的判定和性质,切割线定理和相交弦定理的证明与应用,着重培养学生的识图与读图能力、推理论证能力。

《坐标系与参数方程》重点考查两种坐标的关系与互化,普通方程与参数方程的关系与互化,简单图形的极坐标,直线、圆和椭圆的参数方程的应用。复习中,一要能够选择参数写出直线、圆与椭圆的参数方程并了解参数的意义,会用直线、圆与椭圆的参数方程解决简单的问题;二要能够在极坐标系中用极坐标表示点的位置及有关曲线的方程,能进行极坐标和直角坐标的互化;三要关注参数方程和极坐标方程在某些情景下解题的优越性,会解决在普通方程下不易解决的问题,体现参数方程和极坐标方程在某些情景下的解题优势。如用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题、交点问题、最值问题和位置关系的判定等等。

《不等式选讲》着重考查绝对值不等式的解法、不等式证明及其应用。复习中,一要重视绝对值不等式的解法,关注含参数的绝对值不等式的基本题型;二要了解不等式证明的基本方法:比较法、综合法、分析法,会用这些方法证明一些简单的不等式。

(三)加强数学能力的训练

国家课标(Ⅰ)卷强调“能力立意”,以数学知识为载体,以思维能力为核心,全面考查各种能力。高三复习教学中要关注以下几个问题:

1.应注重数学思维能力的训练,合理利用有关材料,通过直觉猜想、归纳抽象、符号表达、运算推理、演绎证明和模式建构等,培养学生观察、分析、解决问题的能力,培养学生将知识迁移到不同情境的能力,形成和发展理性思维,提高抽象概括能力和推理论证能力。

2.高考提倡“多思少算”,但并不意味着不要运算。复习中应重视学生运算求解能力的训练,有意识地培养学生合理、准确的运算能力。

3.应重视对立体图形的直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算,合理借助三视图和直观图,培养学生的空间想象能力。

4.应重视培养学生的数据处理能力,会从大量数据中抽取对研究问题有用的信息,并作出判断。要侧重从函数、数列、概率与统计等方面寻找素材,进行适度、合理的训练。

5.高考重视对应用意识和创新意识的考查,复习中应有意识地加强这两方面能力的训练。

(四)注重思想方法的提炼

国家课标(I)卷在考查基础知识、基本技能的同时,突出对数学思想方法的考查,注重通性通法,淡化特殊技巧。因此复习中应关注对数学知识在更高层次上的抽象和概括,结合具体问题不失时机地渗透函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化、特殊与一般、或然与必然、有限与无限等思想,从而深化学生对基础知识的理解,进一步完善知识结构,优化思维品质。

函数与方程思想是重要的数学思想方法之一,它在数列、解析几何、立体几何等知识中都有广泛的应用,运用函数与方程的性质解题、应用函数与方程研究实际问题、构造函数与方程解题等,教学中要予以足够重视;应关注“文字语言、图形语言、符号语言”这三种语言之间的互译与转换,引导学生运用数形结合思想解决问题,培养学生“以形助数,以数解形”的意识;对含有字母参数的问题,要引导学生正确、科学地确定分类标准,运用分类与整合思想解决问题;应强化化归与转化思想在解题中的作用,例如一般与特殊的转化,数与形的转化,空间向平面的转化,多元向一元转化,未知向已知转化,复杂问题向简单问题转化等等

数学思想方法涉及面广,综合性强,要求较高。复习时应注意知识的交叉、融合和渗透,帮助学生进行归纳、梳理、总结和提升,从中把握规律,领会本质,掌握数学思想方法,提高学科素养。

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